Zahrah Alnasser

Tuesday, March 24, 2015

الأورجامي: العلم، الرياضيات، و التكنولوجيا

بقلم: روبرت لانغ

نقله إلى العربية: زهرة آل ناصر

إن الإلتقاءات بين الأورجامي و الرياضيات و العلم تحدث على مستويات عديدة وتشمل الكثير من المجالات من هذا الأخير. يمكننا تصنيف هذه الإلتقاءات في مايقارب الثلاثة فئات:

v رياضيات الأورجامي، و التي تشمل الرياضيات التي تصف القوانين الأساسية للأورجامي.

v الأورجامي الحسابي، و التي تضم الخوارزميات و النظرية المخصصة لحل مسائل الأورجامي بالوسائل الرياضية.

v أورجامي التكنولوجيا، و التي هي تطبيق للأورجامي (و الطي بشكل عام) لحل المسائل الناشئة في الهندسة و التصميم الصناعي و التكنولوجيا عامةً.

هذه التقسيمات عشوائية بعض الشئ، طبعاً؛ يمكن أن يختلط نوع بنوع آخر. رياضيات الأورجامي يعّرف القواعد الرئيسية لهدف الأورجامي الحسابي في حل مسائل تصميم الأروجامي (وقياس مدى صعوبتها). ونتائج الأورجامي الحسابي، بدورها، يمكن أن تدخل (ودخلت) في خدمة وحل المشكلات التكنولوجية بدءاً من منتجات العملاء إلى برنامج الفضاء.

في هذا القسم بالرابط أعلاه، سوف تجد أمثلة لجميع الثلاثة أنواع المتداخلة. لاتتردد في الإستكشاف، وليس هناك أي ترتيب محدد لقرائتها.

المؤتمرات

منذ العام 1989، كان هناك العديد من المؤتمرات العلمية العالمية الناجحة جداً تبحث في الصلة بين الأورجامي و الرياضيات و العلم و(منذ 2001) التعليم. عقدت هذه المؤتمرات على فترات غير منتظمة- بالأساس، كلما قرر رئيس و منظمة راعية أن الوقت قد حان للمؤتمر المقبل. انقر هنا لمزيد من المعلومات حول هذه الإجتماعات.

روابط

إنقر هنا للمزيد من الروابط لمزيد من المعلومات عن الأورجامي في العلم و الرياضيات و التكنولوجيا.
http://www.langorigami.com/science/sciencelinks.php

المصدر: http://www.langorigami.com/science/science.php

للمزيد من القراءة: أوريغامي/http://ar.wikipedia.org/wiki/

Monday, December 8, 2014

الكرات الغريبة أو لماذا فضاء البعد الرابع مكان مجنون؟

بقلم: ريتشارد إلوس
نقله إلى العربيه: زهره آل ناصر

المكان الذي نعيش فيه هو بالتحديد ذو ثلاثة أبعاد: أعلى / أسفل، يسار / يمين ، إلى الأمام/ إلى الخلف. هذه هي فقط طرق الإنتقال. لسنوات فكّر العلماء و كتّاب الخيال العلمي في إمكانيات فراغات الأبعاد العليا. كيف سيكون شكل العالم ذي 4 أو 5 أبعاد؟ أو حتى هل سيكون صحيحاً ، كما إقترح البعض، أننا قد سكنا في هذا الفراغ، أن منزلنا ذي 3 أبعاد ليس إلا شريحه خلال عالم الأبعاد العليا تماماً كما أن شريحه خلال مكعب البعد الثالث تنتج مربع في البعد الثاني؟

تماماً كما يمكن إسقاط الأشكال من البعد 3إلى البعد 2 في المستوى، يمكن إسقاط أشكال البعد 4 على البعد3 في الفراغ. هذه الصورة هي إسقاط الكرة الزائدية من البعد4. المنحنيات هي إسقاطات الكرة الزائدية للخطوط المتوازية(أحمر) خطوط الطول (أزرق)وخطوط الطول الزائدية (أخضر).الصورة
Claudio Rocchini from Wikimedia

تبعاً لكاتب الرعب H.P.Lovecraft لوفكرافت في أوائل القرن العشرين، أن هذه الأبعاد العليا موجوده بالفعل و تعد موطناً لجميع أنواع المخلوقات الشريره. في أسطوره لوفكرافت ، أفظع هذه الكائنات يطلق عليه إسم Yog-Sothoth. و من المثير للإهتمام أنه في المناسبات النادره التي يظهر فيها Yog-Sothoth في عالم الإنسان فإنه يأخذ شكل مجموعه من الكرات قزحيه اللألوان ...مذهل في دلاللاته الخبيثه. كان لدى لوفكرافت بعض الإهتمام بالرياضيات، و في الحقيقه فقد إستخدم بعض الأفكار مثل الهندسيه الزائديه ليقدم بعض الغرابه لقصصه ( كما ناقش توماس هال في آفاق الرياضيات Math Horizons ) لكنه لم يستطع أن يعرف كم كان الحظ في قرار إظهار Yog-Sothoth في هذه الهيئه. الكرات الغريبه حقاً هي المفاتيح لعوالم الأبعاد العليا،و إزداد فهمنا لها بشكل كبير في السنوات الأخيره. خلال السنوات الخمسين الأخيره نمى موضوع التوبولوجيا التفاضليه و كشف عن مدى غرابه هذه الأماكن.

الأبعاد العليا و الكره الزائديه

هل الأبعاد العليا موجوده؟ تقدم الرياضيات إجابه مؤكده مفاجئه لهذا السؤال. مثلما يمكن وصف المستوى ذي البعدين بواسطه أزواج من الإحداثيات مثل (5،6) مع الإشاره إلى زوج الإحداثيات ، كذلك يمكن وصف فضاء البعد الثالث عن طريق ثلاثيات من الأعداد مثل (3،6،5) . طبعاً يمكن الإستمرار على خط التفكير هذا: الفراغ من البعد الرابع ، بالنسبه للرياضيين، يتم تحديده من مجموعات رباعيه من الأعداد الحقيقه مثل (2،3،6،5). و هذه الطريقه تتوسع للأبعاد العليا. بالطبع فإن هذا لايجيب على سؤال الفيزيائي، ماإذا كانت هذه الأبعاد لها أي وجود مادي مجرد. لكن رياضياً، على الأقل، طالما كنت تعتقد بالأرقام ليس لديك الكثير من الخيارات إلا الإعتقاد بفراغ البعد الرابع أيضاً.

حسن ذلك جيد، لكن كيف يمكن تخيل مثل هذه الأماكن؟ كيف يبدو شكل مخبأ Yog-Sothoth ؟ هذا هو السؤال الأصعب للإجابه ، حيث أن عقولنا ليست غريبه لنرى الفراغات ذات الأبعاد الأكثر من ثلاثه. و لكن مره أخرى، يمكن أن تساعدنا التقنيات الرياضيه، أولاً عن طريق السماح لنا بتعميم الظواهر التي نراها في الفراغات الإعتياديه.

كمثال مهم هو الكره . إذا إخترت موضع على الأرض، ثم وضعت علامه على جميع النقاط التي تبعد 1سم عنها فإن الشكل الذي يظهر هو دائره قطرها 1سم . إذا فعلت نفس الشئ لكن في الفضاء ذي 3 أبعاد فإننا نحصل على كره عاديه. والآن نصل إلى الجزء المثير، لأن نفس الخدعه يمكن أن تعمل في الأربعه أبعاد و تنتج أول كره زائديه hypersphere .

كيف يبدو ذلك؟ حسناً، عندما ننظر إلى الدائره عن قرب فكل مقطع يشبه المستقيم العادي في البعد الأول ( وهكذا فإن الدائره تسمى أيضاً الدائره-1) الفرق بين الدائره و المستقيم أنه عندما ننظر لهما من البعد ، كل شئ ينحني ليتصل مع بعضه و له فقط طول منحني. و بنفس الطريقه كل قطعه من الكره العاديه ( و هذا مايعرف بالكره -2) يشبه القطعه من المستوى في البعد 2. مره أخرى، هذه القطع يتم خياطتها معاً بطريقه لاتترك أي حدود، ولها مساحه منتهيه فقط. حتى الآن يمكن التنبؤ، و لكن نفس الشئ بالضبط صحيح لأول كره زائديه (أو كره-3). كل مساحه تشبه الفراغ من البعد الثالث الإعتيادي. قد نكون نعيش في واحده الآن،لكل مابوسعنا رؤيته. لكن مثلما في أعمامها الأبعاد السفلى، كل شئ ينحني على نفسه بطريقه لاتسطح فراغ البعد الثالث و تنتج شكل من دون حدود و فقط حجم منتهي. بالطبع لانتوقف هنا، الكره الزائديه التاليه (كره-4) هي مثل كل مقطع تشبه فراغ البعد الرابع، و هكذا دواليك في كل بعد.

من الهندسه إلى التبولوجي إلى التوبولوجي التفاضلي

مثل الهندسه ، التوبولوجي هو فرع من الرياضيات الذي يدرس الأشكال. أحد الأسئله الأساسيه عندما نسأل متى يكون شكلين هما في الحقيقه نفسهما؟ و هو لايملك إجابه واحده، إنه يعتمد على هيئه الشكل الذي أنت مهتم به. وبشكل أساسي، إذا كان الشكلين متطابقين لكنهما موضوعين في أماكن مختلفه فإنه لمعظم الأغراض سنعتبرهما على أنهما "نفس الشئ".

في التوبولوجيي، الدونات و الكأس هما نفس الشئ لأنه يمكن تشكيل أو تحويل أحدهما للآخر

يملك التوبولوجي مفهوم أوسع للتشابه من الهندسه. هنا، نعتبر الشكلين " نفس الشئ" إذا أمكن سحب أو شد أو ثني أحدهما إلى الآخر. و بذلك ، بالنسبه للتبولوجيين، المثلثات و أشباه المنحرفات و سباعيه الأضلاع ... الخ هي نفس الشئ: كلهم فقط دوائر. من ناحيه أخرى، الشكل 8 هو حقاً شكل مختلف لأن التعريف التبولوجي للتشابه لايشمل القطع أو اللصق في الشكل. و بالتالي 8 لايمكن أبداً سحبه إلى شكل دائره ، كما هو ممنوع القطع. و كذلك الحال مع i حيث أن الجزئين لايمكن إلصاقهما معاً.

إذا كنت مهتماً بأشياء مثل الزوايا، الأطوال، أو المساحات فمن ثم وجهه النظر التوبولوجيه هي الخاطئه. لكن الكثير من البيانات الهامه تبقى على هذا الصعيد: مثال مشهور هو خريطه أنبوب لندن. هنا ليس الطول أو إنحناء الإنبوب بالضبط هو الذي يهم، لكن أشياء مثل ترتيب المحطات و الطرق التي تتقاطع بها الأنابيب المختلفه . هذه الظواهر هي تبولوجيه بطبيعتها و لاتتأثر بالتحويلات التبولوجيه. وهذا أمر مريح لأنه يسمح لأبناء لندن بإستخدام خريطه تخطيطيه مبسطه بدلاً من الخريطه التفصيليه للمدينه بأكملها و تتضمن التوجيهات الدقيقه لجميع مسالك خطوط الأنابيب.

بعض الأشكال، مثل الحلقه على شكل الدونات، تحتوي على ثقوب. هذه الثقوب ضروريه: لايمكن إزالتها عن طريق الإلتواء و التمدد التوبولوجي. لكن ماهي الأشكال التي لاتحوي ثقوب؟ النظريه الأكثر شهره في التوبولوجي، تخمين بونكاريه Poincaré conjecture تقدم إجابه أنيقه على هذا السؤال : إنه يقول أن الشكل الوحيد هو الكره. هذا غير صحيح من وجهه النظر الهندسيه، مثل المكعب و الهرم و السداسي. و العديد من الأشكال الأخرى و التي جميعها لاتحتوي على ثقوب. لكن ، بالطبع، بالنسبه للتبولوجيين كل هذه الأشكال المثيره لاتمثل أكثر من كره.

عرفنا منذ العام 2002 أن تخمين بونكاريه هو في الحقيقه صحيح. سؤال هنري بونكاريه الأصلي يتعلق بالكره-3 ( ذي البعد3) لكن في الواقع نفس الش ينطبق بالضبط على الأبعاد العليا أيضاً. على الرغم من ذلك، في العام 1956 وصل الدليل الأول أن هناك تغيراً طفيفاً في وجهه النظر سيجعل القصه أكثر تعقيداً بشكل كبير. عندما نقترب من خلال الموضوع الجديد التوبولوجيا التفاضليه، تبدأ فراغات الأبعاد العليا بالكشف عن بعض أسرارها غير العاديه .

الثغرات و المنعطفات و الزوايا

الفرق بين التوبولوجي المستوي plane topology و التوبولوجي التفاضلي differential topology يبدو دقيقاً للغايه لكن إتضح أن له نتائج مدهشه. يتوقف ذلك على نوع الإنسحاب و الإلتواء اللذان يسمح بهما خلال عمليه التشكيل. و لهذا تأثير كبير على الأشكال التي تعتبر " نفس الشئ".

هذه الكسورية تدعى بمجموعة جوليا. متصلة لكنها ليست ملساء في أي مكان.
Julia Set

الإنقسام من العمليات التي هي بين المتصله بمعنى أنها لاتقفز أو تنقطع و غيرها ، والأخرى التي هي ملساء. كون العمليه ملساء هو شرط أقوى بكثير من مجرد الإتصال. ينطبق نفس الشئ على تمييز الأشكال نفسها: الدوائر و الكرات هما مثالان على الأشكال الملساء في حين أن المربع و المكعب هما أشكال ليست ملساء بسبب حوافها و زواياها الحاده. كلها متصله و لكن لأن هذه الحواف ليس لديها ثغرات أو قفزات. ( الخط المنقطع هو الخط الذي يأتي في قطعتين منفصتين). حتى أن هناك أنماط كسوريه و التي هي متصله في كل مكان لكنها ليست ملساء في أي مكان.

بنفس الطريقه، يمكننا أن نميز بين التشكيل الذي هو أملس فعلاً و الذي هو متصل فقط . و لكن ربما يكون متقلب و مشوه. إنها ليست واضحه على الإطلاق على الرغم من ذلك هذا التمييز يجب أن يكون مهماً كثيراً. أيكون من الممكن حقاً أن شكلين ( يطلق عليهما مانيفولداتmanifolds بلغه التوبولوجيين) متشابهين من وجهه النظر التوبولوجيه ( من الناحيه التقنيه، متشاكلينhomeomorphic ) لكنهما ليسا نفس الشئ من الناحيه التفاضليه ( ليسا دفيومورفيكdiffeomorphic )؟ و بكلام آخر ، هل يمكننا أن نحصل على شكلين يمكن تشكيلهما إلى بعضهما البعض من غير قطع لكن هذا التحول لا يمكن أن يكون أملس، إنها تحتاج هزّات و قفزات؟ بالتأكيد يصعب تخيل ذلك لأسباب ليست أقلها أنه لم يحدث أبداً في الأبعاد 1، 2، 3.

الكرات الغريبه

في العام 1956، كان جون ميلنور يدرس المانفوليدات من البعد السابع عندما وجد الشكل الذي يبدو غريباً جداً. من ناحيه، لايحتوي على أي ثقوب و بذلك يبدو مثل الكره. و من ناحيه أخرى، الطريقه التي ينحني بها لاتبدو مثل الكره على الإطلاق. في البدايه، إعتقد ميلنور أنه وجد مثال مناقض لتخمين بونكاريه من البعد السابع: شكل من دون ثقوب و الذي ليس كره. لكن بالتفحص عن قرب، شكله الجديد يمكن تحويله إلى كره ( كما أصر بونكاريه على أن يكون قادراً على ذلك) لكن لايمكن عمل ذلك على نحو سلس. لذلك، حتى لو كانت من الناحيه التوبولوجيه كره، فمن الناحيه التفاضليه ليس كذلك.

وجد ميلنور أول كره غريبه، وقد ذهب لأبعد من ذلك بالعثور على المزيد في الأبعاد الأخرى. كانت النتيجه في كل حاله كره توبولوجيه لكنها ليست تفاضليه. طريقه أخرى لقول نفس الشئ : أن الكرات الغريبه Exotic spheres تمثل طرق لعرض مفاهيم غير عاديه للمسافه و الإنحناء على الكره العاديه.

في اللأبعاد الأول و الثاني و الثالث ليست هناك كرات غريبه، فقط الكرات العاديه. و ذلك لأن المفاهيم التوبولوجيه و التفاضليه لا تختلف في هذه الفراغات المألوفه. وبالمثل في الفراغات ذات البعد الخامس و السادس يوجد فقط الكرات العاديه، لكن في البعد السابع ، للمفاجأه هناك 28 منهم. وفي اللأبعاد الأعلى فإن العدد يتراوح بين 1 و عدد كبير إختياري .

الموضوع الذي بقي غامضاً حتى اليوم هو فراغ البعد الرابع. لم يتم العثور على أي من الكرات الغريبه. و في نفس الوقت لم يستطع أحد إثبات عدم إمكانيه وجودها. التأكيد على أنه لاتوجد كرات غريبه في البعد الرابع يعرف بـ تخمين بونكاريه الأملسsmooth Poincaré conjecture . في حاله أن أي شخص وصل لهنا و غير متأكد، فدعني أجعل ذلك واضحاً: تخمين بونكاريه الأملس هو ليس نفسه تخمين بونكاريه ! من بين كل الإختلافات، لقد تم إثبات تخمين بونكاريه، لكن تخمين بونكاريه الأملس بقي بعناد مفتوح حتى اليوم.

العالم الغريب من الأربعه أبعاد

إذن، هل تخمين بونكاريه الأملس صحيح؟ معظم الرياضيين يميلون إلى إعتباره خاطئ و أنه من المحتمل وجود كرات غريبه من البعد الرابع. و السبب في ذلك أن فراغ البعد الرابع عرف مسبقاً أنه مكان غريب للغايه، حيث أن جميع أنواع الأشياء المفاجئه تحدث. و كمثال أساسي على ذلك هو الإكتشاف في العام 1983 لنوع جديد تماماً من الأشكال في البعد الرابع ، واحد لايمكن جعله أملساً أبداً.

كما ناقشنا أعلاه ، المربع ليس شكلاً أملس بسبب زواياه الحاده. لكن يمكن جعله أملس. و هذا يعني أنه توبولوجياً مطابق لشكل أملس، يسمى الدائره. في العام 1983، على الرغم من ذلك، إكتشف سايمون دونالدسون Simon Donaldsonفصل جديد من مانفوليدات البعد الرابع و التي لايمكن جعلها ملساء: فهي مملوءه بالمنعطفات و الحواف الحاده بحيث أنه لايمكن بأي طريقه إزالتها كلها.

و أبعد من ذلك فإن الكره ليست الوحيده التي تأتي بشكل غريب. من المعروف الآن أن فراغ البعد 4 نفسه (أو

) يأتي بأشكال مختلفه. فهناك الفراغ الإعتيادي المنبسط ، ولكن بجانبه الغريب. كلاهما مطابقين توبولوجياً للفراغ الإعتيادي، و لكن ليسوا متطابقين تفاضلياً. و للدهشه كما أثبت كليفورد توبس Cliff Taubesفي العام 1987م ، أن هناك عدد لانهائي من هذه الحقائق البديله. وبهذا الصدد، البعد الرابع هو حقاً عالم لانهائي أغرب من كل مجال آخر: لكل الأبعاد الأخرى

، يوجد فقط شكل واحد من

. ربما بعد كل شئ فإن البعد الرابع هو المحيط الرياضي المناسب للعالم الغريب لكتّاب الخيال العلمي.

هذه المقاله ظهرت لأول مره في مجله Plus Magazine بعنوان Exotic spheres, or why 4-dimentional space is a crazy place by Richard Elwes .
http://plus.maths.org/content/richard-elwes

Saturday, October 26, 2013

الأورجامـــــــــــــــــــــــي

فن طي الأوراق بإستخدام الرياضيات
بقلم: ليز نيوتن
ترجمه: زهرة آل ناصر

الهيكل العظمي للديناصور Allosaurus من صنع روبرت لانغ . مصنوع من ورقه مربعه ذات بعد 16 إنش و حجمه 24 إنش . صور: روبرت لانغ.

كنت أحمل رتبة ماستر في الأورجامي عندما كنت في التاسعة من عمري. كان لدي صديقٌة من اليابان تدعى كيم و التي كانت تزور إنجلترا لمدة سنة. في الوقت الذي قمت فيه بعرض الأشياء الممتعة التي يمكن لها أن تفعلها في إنجلترا ، علمتني هي كل الأشياء اليابانية الجميلة إبتداءً من رسم الأشكال الكرتونيه Manga إلى عمل السوشي. و بالطبع فقد علمتني شيئاً آخر هو الأورجامي - وفي أحد أوقات الظهيرة علمتني كيف أصنع طائراً ورقياً. منذ تلك اللحظة، كنت أفضل ماستر في الأورجامي - أو كما كنت أظن. إنقضت خمسة عشرعاماً قبل أن أدرك أنني لم أكن كذلك، وفي الواقع لم أكن أي شئ قريب من الماستر في الأورجامي .

المثير للدهشة أنني لم أكن الوحيدة التي إعتقدت ذلك ، كان هناك بلا شك العديد من الفنانين على مر التاريخ الذين إعتقدوا حقاً بأنهم حققوا أفضل الإنتاج و أكثر النماذج تعقيداً في الأورجامي . لكن في الواقع ، لم يكن ذلك حتى القرن العشرين مع ظهور الحواسيب حيث أخذ الأورجامي إنطلاقته الحقيقية.

لمحه تاريخيه عن الأورجامي

على الرغم من أن الأورجامي في الوقت الحاضر مرتبط باليابان ، إلا أن هناك إشاره مسجلة بأنه قدم من الصين حيث تم صناعة أول ورقة حوال 200AD كبديل رخيص للحرير. عرف فن طي الورق الصيني بـ ( Zhezhi ) وأحضر مع الورق إلى اليابان في القرن السادس بواسطة الرهبان البوذيون الصينيون.

حصان مجنح صنعه روبرت لانغ من ورقه مربعه ومن غير تقطيع الحجم: 7 إنش. صور: روبرت لانغ .

إنتشر الأورجامي في اليابان منذ ذلك الوقت. الكلمة اليابانية الأورجامي هي بحد ذاتها مكونة من كلمتين أصغر في ال اٌليابانية ، " أوري" التي تعني طي و " جام " وهي تعني ورقة. كان هذا الفن ( و ما زٌال ) تسلية شائعة للطلاب اليابانين لقرون عديدة.
وهكذا بقي الوضع، بينما كان مختلفاً للعامل الياباني أكيرا يوشيزاوا الذي ولد في العام 1911 لعائلة تعمل في مزرعة ألبان. إستمتع أكيرا باللعب بالأورجامي عندما كان طفلاً، وكمعظم الأطفال فقد توقف تدريجياًٌ عندما كبر بالسن و وجد أشياء جديده لشغل وقته. على الرغم من ذلك فخلافاً لكل الأطفال فقد إستعاد علاقته مع الأورجامي عندما كان في بداية العشرين من عمره. كان قد حصل على عمل في مصنع؛ تعليم المبتدئين العاملين الهندسه، وقد أدرك أن الأورجامي سيكون طريقه بسيطه و فعاله ليعلم طلابه الزوايا والخطوط والأشكال.

كان كلما تدرب يوشيزاوا أكثر وأكثر، طّور بعض التقنيات الرائدة مثل " الطي الرطب" ، الذي سمح بتكوين نماذج معقدة و منحنيات يتم تشكيلها بورقة واحدة فقط. كان عمله هذا قد بدأ نهضة في الأورجامي، مع تقنياته الحديثه التي حوّلت الأورجامي من الغرائب الى شكل من أشكال الفن. وكلما تم تصميم أشكال معقده أكثر وأكثر في الأورجامي ، بدأ هذا الفن في الحصول على الإهتمام من الرياضيين، الذين كان لديهم نفس الفكرة مثل يوشيزاوا – يوجد هناك تحويل بين طي الأوراق والهندسة. أدت الدراسة الرياضية للأورجامي لإتباع نهج جديد لمشكلتين كانت تمتد جذورهما الى ثقافتين مختلفتين، على قارتين مختلفتين، قبل العديد العديد من السنوات .

العناصر لإقليدس
كان إقليدس الإسكندري رياضياٌ يونانياٌ عاش قبل2000 سنة ، وغالباً ماكان يسمى بأب الهندسة. كتاب العناصر لإقليدس هو من أكثرالكتب نجاحاً في تاريخ الرياضيات، وأول مناقشة منهجيه للهندسة. عرف إقليدس أنه بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة فإنه يمكن
تنفيذ عدد كبير من العمليات الهندسية مثل رسم الخماسي والسداسي والدائرة. كان هذا معروفاً على نطاق واسع في ذلك الوقت ، وكانت مقدرة إقليدس على عمل ذلك عاديه.

لكن إقليدس عمل مالم يعمله أحد من قبله، بدأ الأسلوب المنهجي لعلم الهندسة. جميع الأشكال الهندسية و جميع النتائج الرياضية في العناصر مستمدة خطوة بخطوة من مجموعة من خمسه فرضيات والتي تشمل جميع العمليات الممكنة بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة :

بواسطه نقطتين، يمكن للمرء أن يرسم خط مستقيم بينهما.

يمكن تمديد أي قطعة مستقيمة بدون حدود .

من خلال نقطة وقطعة مستقيمة تبدأ من النقطة، يمكن وصف دائرة بحيث أن هذه النقطة هي مركزها والقطعة المستقيمة هي نصف قطرها.

جميع الزوايا القائمة متساوية.

بواسطة مستقيم ونقطة p ليست على المستقيم، فهناك مستقيم واحد و واحد فقط يمر خلال p ولايتلاقى مع المستقيم الأصلي.

هذه الفرضيات والتي تعرف بمسلمات إقليدس، تبدو بديهية، و في الحقيقة فإن
إقليدس نفسه إفترض أنها واضحة بذاتها. لكن جمالها يظهر في حقيقة أنه يمكن
إستخدامها لبناء براهين هندسيه لنظريات التي هي أكثر تعقيداً بكثير من المسلمات
نفسها .

لكن هناك بعض القصور في الهندسة الإقليدية. إثنتان من المسائل الأكثر شهرة في العصور القديمه هي مسألة ثلث الزاوية (تقسيم زاوية معطاه الى ثلاثة أقسام متساوية) و مضاعفة المكعب (بناء مكعب كٌون حجمه بالضبط ضعف حجم مكعب معطى). وفقاً للأسطورة،واجه مواطنوا ديلوس القدماء المسألة الثانية حين نصحهم أوراكل في دلفي بمضاعفة حجم المذبح لتجنب وباء الطاعون. لكن تبين إستحالة عمل ذلك بإستخدام طريقة إقليدس بالحافة المستقيمة والبوصلة ونفس الشئ ينطبق على مسألة ثلث الزاوية. لكن ظٌهر بأنه يمكن حل كلتا المسألتان بإستخدام الأورجامي ! بالنتيجة وصلنا إلى إمكانية مذهلة بأن هندسة الأورجامي لها قوة أكثر من هندسة إقليدس.

نبات الكرمه مصنوعه من عدد من الأوراق الكوريه ، سلك ، و خشب. الحجم: 15 إنش. صور: روبرت لانغ.

عبقرية الأورجامي

تماماً كما وضع إقليدس مسلمات للهندسة المستوية، فإن عالما الرياضيات الحديثه هومياتي هوزيترا و كوشيرا هاتوري قاما بوضع مجموعة من المسلمات لوصف هندسة الأورجامي.

المسلمه1: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإن هناك طي وحيد للورقة ليمر خلال النقطتين.

المسلمه2: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإنه يوجد طي وحيد لتنطبق النقطة $p_1$ على $p_2$ .

المسلمه 3: بإعطاء مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لينطبق $l_1$ على $l_2$ .

المسلمه4: عن طريق نقطة $p_1$ ومستقيم $l_1$ معطيان، فهناك طي وحيد عمودي على المستقيم $l_1$ ويمر بالنقطه $p_1$ .

المسلمه5: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيم $l_1$ ، فإنه يوجد طي لتنطبق النقطة $p_1$ على المستقيم $l_1$ ويمر خلال النقطة $p_2$ .

المسلمه6: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فيوجد طي لتنطبق $p_1$ على $l_1$ و $p_2$ على $l_2$ .

المسلمه7: بإعطاء نقطة $p$ و مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لتنطبق $p$ على وعمودي على $l_2$ .

ثلث الزاويه

تعتبر المسلمة السابعة هي المفتاح لكلا المسألتين ثلث الزاوية ومضاعفة المكعب. لنبدأ بإنشاء الزاوية. بإتباع الخطوات الموضحة أدناه، من الممكن أن نرى كيف أن هذه المسلمات البسيطة تمكن بتنفيذ عملية كانت مستعصية على إقليدس. (رسم روبرت لانغ).

ربما سوف يقنعك هذا أن هذه التقنية تعمل، لكن للمشككين، هنا برهان على ذلك.(هذه الطريقة مناسبه لأي زاوية أقل من 90. هناك طرق أخرى للزوايا الأكبر.)

مضاعفه المكعب

إفترض أننا أعطينا مكعب طول ضلعه $s_1$ وله الحجم $V$ . مهمتك هي إيجاد طول الضلع $s_2$ للمكعب الذي حجمه $2V$ .

في حال أن لديك شك، هنا برهان على ذلك.

كل ذلك في الدرجه الثالثه

إذن، ماهو الشئ الذي يعطي الأورجامي القدره على حل مسألتين تقليديتين؟الجواب يكمن في حقيقة أن كلا المشكلتين يتلخص حلهما في حل المعادله التكعيبية. في حالة المكعب، فإنك تبحث عن ضلع المكعب $s_2,$ ،وهكذا يكون

   $s_2^3=2V,$

حيث $V$ هو الحجم المعطى للمكعب. بما أن $V=s_1^3$    حيث $s_1$ هو طول الضلع المعطى للمكعب، يكون لدينا
   $s_2^3=2s_1^3,$
و الذي بدوره يعني أن

                                                                      $s_2=\sqrt [3]{2}s_1.$

بما انك تعلم قيمة $s_1$ ، فإن $\sqrt [3]{2}$ هو الذي تحتاجه. وهذا هو الذي أوجدناه بالضبط في البناء العلوي.
الزاويه الإختيارية $\psi$ يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أقسام بإستخدام علم المثلثات: بكتابة $\psi = 3\theta$ وتطبيق الصيغة المثلثية لجيب تمام مجموع الزاويتين، نحصل على

             $\cos (\psi )=\cos (\theta + 2\theta ) = \cos (\theta )\cos (2\theta )-\sin (\theta )\sin (2\theta ).$
والآن

                                          $\cos (2\theta )=\cos (\theta )^2-\sin (\theta )^2$

بإستبدال ذلك في المعادلة أعلاه والتبسيط نحصل على

                                      $\cos (3\theta ) = 4\cos (\theta )^3-3\cos (\theta ).$

حل المعادلة التكعيبية يعطي القيم المحتملة لـ $\cos (\theta )$ والتي من خلالها يمكن إيجاد $\theta$ .
ينتج ان الأورجامي لايمكنه فقط حل كلتا المعادلتين التكعيبيتين المرتبيطتين بالمسـألتين أعلاه، بل أي معادله تكعيبية و الذي يعني أن أي معادله على الشكل

                                               $ax^3+bx^2+cx+d=0,$

لبعض قيم $a$ و $b$ و $c$ و $d$ (يمكنك معرفة كيف يمكن عمل ذلك على الموقع الإلكتروني كاشيروا هاتوري) وفي حين أن طريقة إقليدس يمكنها حل المعادلة التربيعية هندسياً فقط بإستخدام الحافة المستقيمة و البوصلة فلا يمكنها حل المعادلة التكعيبية.

الأورجامي الحسابي

أحد رواد الرياضيات الحديثة في الأورجامي روبرت لانغ، رياضي أمريكي و فنان في الأورجامي. في العام 1989، كتب لانغ مقالة لمجلة الهندسة و العلوم التي تسائل فيها عما إذا كان الحاسب قادر في يوم من الأيام على على تصميم نموذج أورجامي يعتبر أفضل من التي صممها الإنسان؟ كان هذا السؤال الذي أثار إهتمامه إلى الحد الذي جعله في العام 1990 يعمل على كتابة برنامج الحاسب الذي يمكنه من عمل ذلك بالضبط.

من اليسار : نموذج الطي المعمول بإستخدام البرنامج treemaker و الأساس النهائي و الشكل النهائي . صور: روبرت لانغ.

في خلال بضعة شهور، قدم لانغ الإصدار الأول على شكل نموذج من البرمجيات و التي أسماها TreeMaker (سميت بذلك لأن الأشكال التي تستخدم كنقطة بداية تشبه الأشجار) كان هذا البرنامج قادر على تحويل رسم الخطوط البسيطة أو الشكل إلى خطة للورقة التي يمكن من خلالها طي النموذج.

في هذا السياق فإن القاعدة هو الشكل الهندسي الذي يحتوي على طيات يكون عددها تبعاً لعدد جميع الأجزاء المكونة لنموذج الأورجامي. وهكذا فإن طائر اللقلق، المكون من جناحين وذيل ورأس يكون مكون من أربعة طيات، بينما حشرة مكونة من ستة أرجل و رأس وبطن تكون مكونة من ثمانية طيات.

في البداية كان برنامج TreeMaker بكلام لانغ:"أكثر بقليل من مجرد فضول رياضي" لكن على مدى السنوات الثمان المقبلة، في الوقت الذي نما فيه فهم لانغ لطي النماذج، فقد أضاف اللوغاريثم للبرنامج. في العام 1998، كان البرنامج قادر على تكوين نموذج طي لعدد كبير من أساسيات الأورجامي.

الأفعى الجرسيه مصنوعه من ورقه غير مقطوعه مستطيله من الورق التايواني. الحجم: 8 إنش . صور: روبرت لانغ.

و اليوم لدى لانغ الآلآف من أشكال الأورجامي. في حين أنه ليس كل هذه الأشكال صممت بواسطة مساعدة TreeMaker، فإن أكثر النماذج تعقيداً ستكون مستحيلة من دونه. صور من إنتاجه متفرقة في هذه المقالة.

تكنولوجيا الأورجامي

في حين أن بعض النماذج المصممه بواسطه لانغ و آخرون هي حقاً مذهله، فمن السهل رفض الأورجامي كفن بسيط: جميل لكن من دون تطبيق في العالم الحقيقي. يأتي الامر نوعاً ما كمفاجأه ، بعد ذلك، لإكتشاف أن تقنيات الأورجامي أنه يجري إستخدامها في النطاق التكنولوجي من تلسكوب الفضاء الى الوساده الهوائيه للسياره.

الضبي الإيرلندي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه من الورق الكوري. الحجم: 9 إنش. صور: روبرت لانغ.

كان تلسكوب الفضاء هبل أطلق في المدار بواسطه مكوك الفضاء ديسكفري في العام 1990 ، و قام علماء الفضاء بالعمل على (). ومن دون توجيه إتهام بقله الطموح، طرح رودريك هايد على فريق البصريات في مختبر لورانس ليفرمور في ليفرمور ، كاليفورنيا ، فكره صنع تلسكوب أكبر بأربعين مره من هبل. التلسكوب هبل نفسه ليس صغيراً ، طوله 13 متر و له فتحه 2.4 متر. التلسكوب هايد اقترح ليكون له فتحه حوالي 100 متر ، وطوله مئات الأمتار. و فوراً قد طرح ذلك مشكله تنفيذيه : حتى لو أنه أمكن تصميم شئ من هذا القبيل، كيف يمكن إدخاله في المدار؟

جاء الجواب عندما أدرك الباحثون أنه من الممكن إنشاء عدسه قابله للطي و التي يمكن شحنها في مكوك الفضاء. المسافه بين عدستي التلسكوب يمكن إنجازها ببساطه بواسطه وضع عدستين في المدار على مسافه مناسبه من بعضهما البعض، حيث أن عدم وجود طاقه الجاذبيه سيسمح ببقائهما. و برؤيه الرابط مع طي الأوراق ، على الفور تم الإتصال بروبرت لانغ لسؤاله عن رأيه الخبير.

بإستخدام اللوغاريتمات من برنامج الحاسب TreeMaker ، إستطاع لانغ بتزويد المهندسين من الشركه الألمانيه EASi Engineering بحل مشكلتهم في الطي. كان ذلك أساسياً لتمثيل الوساده الهوائيه على شكل سلسله من المضلعات ، و التي حوافها تبقى محاذيه قبل و بعد الطي- مهمه يمكن أن تتحقق مع نموذج طي مفصل مثل تلك التي إستخدمها لانغ لنماذج الأورجامي.

مـــاستر في الأورجامـي

لـفن هو قديم قدم الورقه نفسها ، أخذ الأورجامي وقتاً طويلاً للوصول الى إمكانياته . و اليوم يوجد مئات من التطبيقات الأخرى التي تكتشف، من المساعده في بناء الروبوت ذاتي التجميع لتقديم دلائل مثل كيف يطوى البروتين الى شكل ثلاثي دقيق في الجسم الإنساني. أخذت حوالي مئات السنوات و إنشاء الحاسب لإدراك كم هو ممكن فقط ، و إبداعات لانغ هي شاهد على مدى ماوصلنا إليه.

فرس النبي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه . الحجم: 4 إنش. صور: روبرت لانغ.

التطبيقات التي لاتصدق للأورجامي قد وضعت حداً في الحقيقه و بشكل جيد على أوهام العظمه ، و الإعتقاد بأنني إنتصرت على عالم الأورجامي في سن التسع سنوات مع الطائر الورقي. لكن بالنسبه للمبتدئين في الأورجامي ، فإن متعه إكتشاف أنه يمكن عمل نموذج بسيط أنيق من ورقه واحده من الورق و عدد صغير من الطيات يمكن أن يجعل أي شخص يعتقد بأنه ماستر في الأورجامي. من الآن، أنا أحثكم على تجربه ذلك – و أنا أضمن لك بأنه سيأسرك.

مصدر المقاله: مجله بلس للرياضيات

http://plus.maths.org/content/power-origami

مصدر الصور

http://www.langorigami.com/