Zahrah Alnasser: الأورجامـــــــــــــــــــــــي

فن طي الأوراق بإستخدام الرياضيات
بقلم: ليز نيوتن
ترجمه: زهرة آل ناصر

الهيكل العظمي للديناصور Allosaurus من صنع روبرت لانغ . مصنوع من ورقه مربعه ذات بعد 16 إنش و حجمه 24 إنش . صور: روبرت لانغ.

كنت أحمل رتبة ماستر في الأورجامي عندما كنت في التاسعة من عمري. كان لدي صديقٌة من اليابان تدعى كيم و التي كانت تزور إنجلترا لمدة سنة. في الوقت الذي قمت فيه بعرض الأشياء الممتعة التي يمكن لها أن تفعلها في إنجلترا ، علمتني هي كل الأشياء اليابانية الجميلة إبتداءً من رسم الأشكال الكرتونيه Manga إلى عمل السوشي. و بالطبع فقد علمتني شيئاً آخر هو الأورجامي - وفي أحد أوقات الظهيرة علمتني كيف أصنع طائراً ورقياً. منذ تلك اللحظة، كنت أفضل ماستر في الأورجامي - أو كما كنت أظن. إنقضت خمسة عشرعاماً قبل أن أدرك أنني لم أكن كذلك، وفي الواقع لم أكن أي شئ قريب من الماستر في الأورجامي .

المثير للدهشة أنني لم أكن الوحيدة التي إعتقدت ذلك ، كان هناك بلا شك العديد من الفنانين على مر التاريخ الذين إعتقدوا حقاً بأنهم حققوا أفضل الإنتاج و أكثر النماذج تعقيداً في الأورجامي . لكن في الواقع ، لم يكن ذلك حتى القرن العشرين مع ظهور الحواسيب حيث أخذ الأورجامي إنطلاقته الحقيقية.

لمحه تاريخيه عن الأورجامي

على الرغم من أن الأورجامي في الوقت الحاضر مرتبط باليابان ، إلا أن هناك إشاره مسجلة بأنه قدم من الصين حيث تم صناعة أول ورقة حوال 200AD كبديل رخيص للحرير. عرف فن طي الورق الصيني بـ ( Zhezhi ) وأحضر مع الورق إلى اليابان في القرن السادس بواسطة الرهبان البوذيون الصينيون.

حصان مجنح صنعه روبرت لانغ من ورقه مربعه ومن غير تقطيع الحجم: 7 إنش. صور: روبرت لانغ .

إنتشر الأورجامي في اليابان منذ ذلك الوقت. الكلمة اليابانية الأورجامي هي بحد ذاتها مكونة من كلمتين أصغر في ال اٌليابانية ، " أوري" التي تعني طي و " جام " وهي تعني ورقة. كان هذا الفن ( و ما زٌال ) تسلية شائعة للطلاب اليابانين لقرون عديدة.
وهكذا بقي الوضع، بينما كان مختلفاً للعامل الياباني أكيرا يوشيزاوا الذي ولد في العام 1911 لعائلة تعمل في مزرعة ألبان. إستمتع أكيرا باللعب بالأورجامي عندما كان طفلاً، وكمعظم الأطفال فقد توقف تدريجياًٌ عندما كبر بالسن و وجد أشياء جديده لشغل وقته. على الرغم من ذلك فخلافاً لكل الأطفال فقد إستعاد علاقته مع الأورجامي عندما كان في بداية العشرين من عمره. كان قد حصل على عمل في مصنع؛ تعليم المبتدئين العاملين الهندسه، وقد أدرك أن الأورجامي سيكون طريقه بسيطه و فعاله ليعلم طلابه الزوايا والخطوط والأشكال.

كان كلما تدرب يوشيزاوا أكثر وأكثر، طّور بعض التقنيات الرائدة مثل " الطي الرطب" ، الذي سمح بتكوين نماذج معقدة و منحنيات يتم تشكيلها بورقة واحدة فقط. كان عمله هذا قد بدأ نهضة في الأورجامي، مع تقنياته الحديثه التي حوّلت الأورجامي من الغرائب الى شكل من أشكال الفن. وكلما تم تصميم أشكال معقده أكثر وأكثر في الأورجامي ، بدأ هذا الفن في الحصول على الإهتمام من الرياضيين، الذين كان لديهم نفس الفكرة مثل يوشيزاوا – يوجد هناك تحويل بين طي الأوراق والهندسة. أدت الدراسة الرياضية للأورجامي لإتباع نهج جديد لمشكلتين كانت تمتد جذورهما الى ثقافتين مختلفتين، على قارتين مختلفتين، قبل العديد العديد من السنوات .

العناصر لإقليدس
كان إقليدس الإسكندري رياضياٌ يونانياٌ عاش قبل2000 سنة ، وغالباً ماكان يسمى بأب الهندسة. كتاب العناصر لإقليدس هو من أكثرالكتب نجاحاً في تاريخ الرياضيات، وأول مناقشة منهجيه للهندسة. عرف إقليدس أنه بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة فإنه يمكن
تنفيذ عدد كبير من العمليات الهندسية مثل رسم الخماسي والسداسي والدائرة. كان هذا معروفاً على نطاق واسع في ذلك الوقت ، وكانت مقدرة إقليدس على عمل ذلك عاديه.

لكن إقليدس عمل مالم يعمله أحد من قبله، بدأ الأسلوب المنهجي لعلم الهندسة. جميع الأشكال الهندسية و جميع النتائج الرياضية في العناصر مستمدة خطوة بخطوة من مجموعة من خمسه فرضيات والتي تشمل جميع العمليات الممكنة بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة :

بواسطه نقطتين، يمكن للمرء أن يرسم خط مستقيم بينهما.

يمكن تمديد أي قطعة مستقيمة بدون حدود .

من خلال نقطة وقطعة مستقيمة تبدأ من النقطة، يمكن وصف دائرة بحيث أن هذه النقطة هي مركزها والقطعة المستقيمة هي نصف قطرها.

جميع الزوايا القائمة متساوية.

بواسطة مستقيم ونقطة p ليست على المستقيم، فهناك مستقيم واحد و واحد فقط يمر خلال p ولايتلاقى مع المستقيم الأصلي.

هذه الفرضيات والتي تعرف بمسلمات إقليدس، تبدو بديهية، و في الحقيقة فإن
إقليدس نفسه إفترض أنها واضحة بذاتها. لكن جمالها يظهر في حقيقة أنه يمكن
إستخدامها لبناء براهين هندسيه لنظريات التي هي أكثر تعقيداً بكثير من المسلمات
نفسها .

لكن هناك بعض القصور في الهندسة الإقليدية. إثنتان من المسائل الأكثر شهرة في العصور القديمه هي مسألة ثلث الزاوية (تقسيم زاوية معطاه الى ثلاثة أقسام متساوية) و مضاعفة المكعب (بناء مكعب كٌون حجمه بالضبط ضعف حجم مكعب معطى). وفقاً للأسطورة،واجه مواطنوا ديلوس القدماء المسألة الثانية حين نصحهم أوراكل في دلفي بمضاعفة حجم المذبح لتجنب وباء الطاعون. لكن تبين إستحالة عمل ذلك بإستخدام طريقة إقليدس بالحافة المستقيمة والبوصلة ونفس الشئ ينطبق على مسألة ثلث الزاوية. لكن ظٌهر بأنه يمكن حل كلتا المسألتان بإستخدام الأورجامي ! بالنتيجة وصلنا إلى إمكانية مذهلة بأن هندسة الأورجامي لها قوة أكثر من هندسة إقليدس.

نبات الكرمه مصنوعه من عدد من الأوراق الكوريه ، سلك ، و خشب. الحجم: 15 إنش. صور: روبرت لانغ.

عبقرية الأورجامي

تماماً كما وضع إقليدس مسلمات للهندسة المستوية، فإن عالما الرياضيات الحديثه هومياتي هوزيترا و كوشيرا هاتوري قاما بوضع مجموعة من المسلمات لوصف هندسة الأورجامي.

المسلمه1: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإن هناك طي وحيد للورقة ليمر خلال النقطتين.

المسلمه2: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإنه يوجد طي وحيد لتنطبق النقطة $p_1$ على $p_2$ .

المسلمه 3: بإعطاء مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لينطبق $l_1$ على $l_2$ .

المسلمه4: عن طريق نقطة $p_1$ ومستقيم $l_1$ معطيان، فهناك طي وحيد عمودي على المستقيم $l_1$ ويمر بالنقطه $p_1$ .

المسلمه5: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيم $l_1$ ، فإنه يوجد طي لتنطبق النقطة $p_1$ على المستقيم $l_1$ ويمر خلال النقطة $p_2$ .

المسلمه6: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فيوجد طي لتنطبق $p_1$ على $l_1$ و $p_2$ على $l_2$ .

المسلمه7: بإعطاء نقطة $p$ و مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لتنطبق $p$ على وعمودي على $l_2$ .

ثلث الزاويه

تعتبر المسلمة السابعة هي المفتاح لكلا المسألتين ثلث الزاوية ومضاعفة المكعب. لنبدأ بإنشاء الزاوية. بإتباع الخطوات الموضحة أدناه، من الممكن أن نرى كيف أن هذه المسلمات البسيطة تمكن بتنفيذ عملية كانت مستعصية على إقليدس. (رسم روبرت لانغ).

ربما سوف يقنعك هذا أن هذه التقنية تعمل، لكن للمشككين، هنا برهان على ذلك.(هذه الطريقة مناسبه لأي زاوية أقل من 90. هناك طرق أخرى للزوايا الأكبر.)

مضاعفه المكعب

إفترض أننا أعطينا مكعب طول ضلعه $s_1$ وله الحجم $V$ . مهمتك هي إيجاد طول الضلع $s_2$ للمكعب الذي حجمه $2V$ .

في حال أن لديك شك، هنا برهان على ذلك.

كل ذلك في الدرجه الثالثه

إذن، ماهو الشئ الذي يعطي الأورجامي القدره على حل مسألتين تقليديتين؟الجواب يكمن في حقيقة أن كلا المشكلتين يتلخص حلهما في حل المعادله التكعيبية. في حالة المكعب، فإنك تبحث عن ضلع المكعب $s_2,$ ،وهكذا يكون

   $s_2^3=2V,$

حيث $V$ هو الحجم المعطى للمكعب. بما أن $V=s_1^3$    حيث $s_1$ هو طول الضلع المعطى للمكعب، يكون لدينا
   $s_2^3=2s_1^3,$
و الذي بدوره يعني أن

                                                                      $s_2=\sqrt [3]{2}s_1.$

بما انك تعلم قيمة $s_1$ ، فإن $\sqrt [3]{2}$ هو الذي تحتاجه. وهذا هو الذي أوجدناه بالضبط في البناء العلوي.
الزاويه الإختيارية $\psi$ يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أقسام بإستخدام علم المثلثات: بكتابة $\psi = 3\theta$ وتطبيق الصيغة المثلثية لجيب تمام مجموع الزاويتين، نحصل على

             $\cos (\psi )=\cos (\theta + 2\theta ) = \cos (\theta )\cos (2\theta )-\sin (\theta )\sin (2\theta ).$
والآن

                                          $\cos (2\theta )=\cos (\theta )^2-\sin (\theta )^2$

بإستبدال ذلك في المعادلة أعلاه والتبسيط نحصل على

                                      $\cos (3\theta ) = 4\cos (\theta )^3-3\cos (\theta ).$

حل المعادلة التكعيبية يعطي القيم المحتملة لـ $\cos (\theta )$ والتي من خلالها يمكن إيجاد $\theta$ .
ينتج ان الأورجامي لايمكنه فقط حل كلتا المعادلتين التكعيبيتين المرتبيطتين بالمسـألتين أعلاه، بل أي معادله تكعيبية و الذي يعني أن أي معادله على الشكل

                                               $ax^3+bx^2+cx+d=0,$

لبعض قيم $a$ و $b$ و $c$ و $d$ (يمكنك معرفة كيف يمكن عمل ذلك على الموقع الإلكتروني كاشيروا هاتوري) وفي حين أن طريقة إقليدس يمكنها حل المعادلة التربيعية هندسياً فقط بإستخدام الحافة المستقيمة و البوصلة فلا يمكنها حل المعادلة التكعيبية.

الأورجامي الحسابي

أحد رواد الرياضيات الحديثة في الأورجامي روبرت لانغ، رياضي أمريكي و فنان في الأورجامي. في العام 1989، كتب لانغ مقالة لمجلة الهندسة و العلوم التي تسائل فيها عما إذا كان الحاسب قادر في يوم من الأيام على على تصميم نموذج أورجامي يعتبر أفضل من التي صممها الإنسان؟ كان هذا السؤال الذي أثار إهتمامه إلى الحد الذي جعله في العام 1990 يعمل على كتابة برنامج الحاسب الذي يمكنه من عمل ذلك بالضبط.

من اليسار : نموذج الطي المعمول بإستخدام البرنامج treemaker و الأساس النهائي و الشكل النهائي . صور: روبرت لانغ.

في خلال بضعة شهور، قدم لانغ الإصدار الأول على شكل نموذج من البرمجيات و التي أسماها TreeMaker (سميت بذلك لأن الأشكال التي تستخدم كنقطة بداية تشبه الأشجار) كان هذا البرنامج قادر على تحويل رسم الخطوط البسيطة أو الشكل إلى خطة للورقة التي يمكن من خلالها طي النموذج.

في هذا السياق فإن القاعدة هو الشكل الهندسي الذي يحتوي على طيات يكون عددها تبعاً لعدد جميع الأجزاء المكونة لنموذج الأورجامي. وهكذا فإن طائر اللقلق، المكون من جناحين وذيل ورأس يكون مكون من أربعة طيات، بينما حشرة مكونة من ستة أرجل و رأس وبطن تكون مكونة من ثمانية طيات.

في البداية كان برنامج TreeMaker بكلام لانغ:"أكثر بقليل من مجرد فضول رياضي" لكن على مدى السنوات الثمان المقبلة، في الوقت الذي نما فيه فهم لانغ لطي النماذج، فقد أضاف اللوغاريثم للبرنامج. في العام 1998، كان البرنامج قادر على تكوين نموذج طي لعدد كبير من أساسيات الأورجامي.

الأفعى الجرسيه مصنوعه من ورقه غير مقطوعه مستطيله من الورق التايواني. الحجم: 8 إنش . صور: روبرت لانغ.

و اليوم لدى لانغ الآلآف من أشكال الأورجامي. في حين أنه ليس كل هذه الأشكال صممت بواسطة مساعدة TreeMaker، فإن أكثر النماذج تعقيداً ستكون مستحيلة من دونه. صور من إنتاجه متفرقة في هذه المقالة.

تكنولوجيا الأورجامي

في حين أن بعض النماذج المصممه بواسطه لانغ و آخرون هي حقاً مذهله، فمن السهل رفض الأورجامي كفن بسيط: جميل لكن من دون تطبيق في العالم الحقيقي. يأتي الامر نوعاً ما كمفاجأه ، بعد ذلك، لإكتشاف أن تقنيات الأورجامي أنه يجري إستخدامها في النطاق التكنولوجي من تلسكوب الفضاء الى الوساده الهوائيه للسياره.

الضبي الإيرلندي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه من الورق الكوري. الحجم: 9 إنش. صور: روبرت لانغ.

كان تلسكوب الفضاء هبل أطلق في المدار بواسطه مكوك الفضاء ديسكفري في العام 1990 ، و قام علماء الفضاء بالعمل على (). ومن دون توجيه إتهام بقله الطموح، طرح رودريك هايد على فريق البصريات في مختبر لورانس ليفرمور في ليفرمور ، كاليفورنيا ، فكره صنع تلسكوب أكبر بأربعين مره من هبل. التلسكوب هبل نفسه ليس صغيراً ، طوله 13 متر و له فتحه 2.4 متر. التلسكوب هايد اقترح ليكون له فتحه حوالي 100 متر ، وطوله مئات الأمتار. و فوراً قد طرح ذلك مشكله تنفيذيه : حتى لو أنه أمكن تصميم شئ من هذا القبيل، كيف يمكن إدخاله في المدار؟

جاء الجواب عندما أدرك الباحثون أنه من الممكن إنشاء عدسه قابله للطي و التي يمكن شحنها في مكوك الفضاء. المسافه بين عدستي التلسكوب يمكن إنجازها ببساطه بواسطه وضع عدستين في المدار على مسافه مناسبه من بعضهما البعض، حيث أن عدم وجود طاقه الجاذبيه سيسمح ببقائهما. و برؤيه الرابط مع طي الأوراق ، على الفور تم الإتصال بروبرت لانغ لسؤاله عن رأيه الخبير.

بإستخدام اللوغاريتمات من برنامج الحاسب TreeMaker ، إستطاع لانغ بتزويد المهندسين من الشركه الألمانيه EASi Engineering بحل مشكلتهم في الطي. كان ذلك أساسياً لتمثيل الوساده الهوائيه على شكل سلسله من المضلعات ، و التي حوافها تبقى محاذيه قبل و بعد الطي- مهمه يمكن أن تتحقق مع نموذج طي مفصل مثل تلك التي إستخدمها لانغ لنماذج الأورجامي.

مـــاستر في الأورجامـي

لـفن هو قديم قدم الورقه نفسها ، أخذ الأورجامي وقتاً طويلاً للوصول الى إمكانياته . و اليوم يوجد مئات من التطبيقات الأخرى التي تكتشف، من المساعده في بناء الروبوت ذاتي التجميع لتقديم دلائل مثل كيف يطوى البروتين الى شكل ثلاثي دقيق في الجسم الإنساني. أخذت حوالي مئات السنوات و إنشاء الحاسب لإدراك كم هو ممكن فقط ، و إبداعات لانغ هي شاهد على مدى ماوصلنا إليه.

فرس النبي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه . الحجم: 4 إنش. صور: روبرت لانغ.

التطبيقات التي لاتصدق للأورجامي قد وضعت حداً في الحقيقه و بشكل جيد على أوهام العظمه ، و الإعتقاد بأنني إنتصرت على عالم الأورجامي في سن التسع سنوات مع الطائر الورقي. لكن بالنسبه للمبتدئين في الأورجامي ، فإن متعه إكتشاف أنه يمكن عمل نموذج بسيط أنيق من ورقه واحده من الورق و عدد صغير من الطيات يمكن أن يجعل أي شخص يعتقد بأنه ماستر في الأورجامي. من الآن، أنا أحثكم على تجربه ذلك – و أنا أضمن لك بأنه سيأسرك.

مصدر المقاله: مجله بلس للرياضيات

http://plus.maths.org/content/power-origami

مصدر الصور

http://www.langorigami.com/

Zahrah Alnasser

Saturday, October 26, 2013

الأورجامـــــــــــــــــــــــي

No comments:

Post a Comment

About Me