Zahrah Alnasser

Friday, November 22, 2024

Walter Rudin (1921-2010)

كتبت هذه المقالة على شرف والتر رويدن

في العام 2010، تم قبول طلبي للإلتحاق في جامعة ويسكنسون في مدينة ماديسون في نفس الوقت الذي فقد فيه المجتمع الرياضي واحد من أعظم الرياضيين الذين أثروا في مسار التحليل الرياضي و أصدروا أعظم الكتب فيها.

كنت أحمل كتب والتر رودين أينما ذهبت وكنت راغبة كل الرغبة بالفهم العميق لهذين الكتابين اللذان يعتبران كحجري الأساس لطالب التحليل الحقيقي. كانت مقابلتي عندئذ تتضمن أسئلة عن والتر رودين وماأعرف عنه وعن أعماله. فقمت بشرح كيف عرفته من خلال كتبه ولم أعرف عنه شيئاً في الوقت نفسه.

كان والتر رودين بروفيسور متقاعد من جامعة ويسكنسون، وتوفي في منزله في 20 مايو بعد صراع طويل مع مرض باركنسون عن عمر يناهز 89 عاماً.

ينحدر رودين من أسرة يهودية عريقة عرفت في الثلث الأول من القرن التاسع عشر. في العام 1830، كان جد والتر رودين الأكبر آرون بولاك يملك مصنع لصنع أعواد الثقاب و أصبح أيضاً معروفاً بكثرة أعماله الخيرية منها بناء مجمع سكني للطلاب حيث أقام 75 طالب من جامعة فيينا التقنية من دون دفع أي مال وعلى إثر ذلك تم منحه وسام الفروسية في العام 1869 و إختار الإسم فون رودين.

وبذلك كان والد والتر رودين، روبرت، الإبن الثالث لفون بدلاك، مالك مصنع ومهندس كهربائي حاصل على شهادة الدكتوراة في الهندسة الكهربائية من جامعة فيينا التقنية في يونيو 1914 و مخترعاً مهتماً بالتسجيلات الصوتية و تكنولوجيا الراديو. وقد تزوج من والدة والتر، ناتالي، في العام 1920. ولد والتر في العام 1921 في فيينا وهو أكبر طفلين لوالديه، ولديه أخت صغيرة فيرا ولدت في 31 مايو 1925. وكانت العائلة اليهودية يهودية، لكنهم لم يكونوا متدينين.

لم يلتحق والتر بالروضة لكنه إلتحق بمدرسة إبتدائية لمدو 4 سنوات ثم إلتحق بنفس المدرسة التي إلتحق بها والده وجده في فيينا و التي وصفها والتر بنفسه كالتالي:

...كانت على مسافة قريبة من شقتنا. اضطررت لإجراء إمتحان القبول، و الذي لم يكن مشكلة. كان لدينا 5 فصول كل يوم، من الساعة 8 إلى 1، مع إستراحة لمدة 20 دقيقة في منتصف الصباح، حيث كان بإمكاننا الركض حول ساحة الحصى أو لعب بعض الألعاب هناك. كنا نلتقي في الدرسة 6 أيام في الأسبوع. كان جميع الطلاب و المعلمين من الذكور. أعتقد أن الإناث الوحيدات اللائي دخلن المبنى كن أمهات في ليالي الذهاب إلى المدرسة. كان هناك حوالي 20 أو 25 صبياً في صفي، و بقينا من عام إلى آخر. بقينا في غرفة واحدة، وتناوب المعلمون على الحضور. كانوا كلهم يحملون شهادة الدكتوراة و جميعهم يلقب بالبرفسور. كان قد تم وضع المنهج مسبقاً. لم يكن هناك خيار للتغيير، بإستثناء أنه يمكن إضافة مواد إختيارية إلى ماهو مطلوب.

كانت الثلاثينيات من القرن الماضي أوقات حرب عصيبة لأولئك المنحدرين من أصول يهودية في فيينا حيث تزايدت الهجمات على اليهود. كانت سياسات النازيين في ألمانيا بعد وصول هتلر إلى السلطة في عام 1933 مصدر قلق بالغ حيث كان هناك العديد من المتعاطفين مع النازيين في فيينا. ومع ذلك، وصلت هذه المخاوف إلى مستوى مختلف تماما 12 مارس .1938 وفي ً عندما زحفت القوات الألمانية إلى النمسا و ضمتها في اليوم الثالي، تم مضايقة اليهود في فيينا، و تعرضت منازلهم و متاجرهم للهجوم. أرسل والدا والتر على الفور والتر وشقيقته فيرا إلى سويسرا لمواصلة تعليمهما. وصلوا إلى زوريخ ومن هناك ذهبت فيرا إلى Chexbres حيث إلتحقت بمدرسة داخلية للبنات بينما ذهب والتر إلى معهد Rosenberg dem auf للبنين في Gallen St . وبقلم رودين:

إلتحقت في المعهد ببرنامج خاص صغير و الذي كان يدرب الطلاب لإختبار يعقد من قبل جامعة أكسفورد وهو يعطى في الكثير من الأماكن حول العالم. بعد ستة أشهر إنضم والدا والتر إلى إبنيهما في سويسرا، كان عليهما أن يغادرا فيينا من دون أن يأخذا أي شئ معهما سوى ملابسهما اللاتي يؤتديانها. وظنا أنهما سوف يبقيان هناك لكن سرعان ماعرفا أنه يجب أيضاً إلى فرنسا حيث حصل الأب روبرت على عمل هناك مغادرة سويسرا في أسرع وقت ممكن فإنتقلوا جميعاً بمساعدة صديق له لكن كان عليهم أن يجددوا إقامتهم في الشرطة بين حين وآخر. ومع إنلاع الحرب العالمية الثانية ،1939 لم يكن الفرنسيون سعداء بوجود الألمان بينهم فإعتقل والتر و أبوه و إرسلوا إلى المعسكر ميسلاي دو مين. وبعد نقله لعدة معسكرات، إستدعي والتر للخدمة في الجيش الفرنسي، و أرسل إلى بونتيفي. توقف القتال. أخبر الفرنسيون والتر بأن لكن بحلول هذا الوقت، كان الألمان قد غزوا فرنسا وبعدها سريعاً إلى إنجلترا في عليه الهرب وهذا مافعله حيث هرب إلى الجنوب الغربي من فرنسا. ومن هناك إستقل قارباً للأجانب. 20 نوفمبر من العام .1940 كان هذه هو الجزء الوحيد من الجيش البريطاني الذي كان مفتوحاً قضى رودين سنوات الحرب في إنجلترا. وقرب نهية الحرب، أعلنت البحرية الملكية أنها بحاجة إلى مترجمين فوريين، ويفضل أن يكونوا متحدثين أصليين للألمانية. بعد التقديم و الخضع للإختبارات في لندن، وفي 4 فبراير 1944 انضم رودن إلى البحرية الملكية.

في يناير،1945 حصل على إذن للسفر إلى أفينيون حيث يعيش والديهو أخته. عاد إلى إنجلترا، لكن بقية أفراد عائلته تمكنوا من الهجرة إلى الولايات المتحدة بعد إنتهاء الحرب. انتقلت أخته فيرا إلى دور هام بولاية نورث كارولينا، حيث عملت في الكيمياء في جامعة ديوك. تمكن والتر روبين من الإنضمام إلى بقية عائلته في الولايات المتحدة في نهاية عام 1045 بعد انتهاء الحرب. التحق بشقيقته في دور هام بولاية نورث كارولينا. لم يكن رودن قد إلتحق بأي تعليم بعد المدرسة لكنه تكلم مع الأعضاء من قسم الرياضيات في جامعة ديوك و أقتعهم بقدرته على الإنضمام و الحصول على البكالوريوس منها. وبالفعل حصل والتر رودن على البكالوريوس من جامعة ديوك في العام .1947 لجربفبن كومارد إيفانز و أجرى بحثه بعد ذلك تحت إشراف الدكتور جون جاي جرجين و الذي كان طالباً سزولم ماندلبورت، فحصل على درجة الدكتوراة في الرياضيات في العام 1949 برسالته" نظرية الوحدانية لمتسلسلات لابلاس" . و التي منها نشر مباشرة ورقتين بحثيتين. الجزء الأول من الرسالة نشر في العام 1950 في الورقة " التمثيل التكاملي للدوال المتصلة" . أما الجزء الثاني من الرسالة فقد نشر في ورقة بحثية بنفس مسمى الرسالة. عرض عليه جيرغن التدريس للفترة 1950-1949 في جامعة ديوك 12 ساعة في الأسبوع وقد قبل. خلال هذا العام في جامعة ديوك، التقى رودن ماري إلين استيل التي حصلت على درجة الدكتوراة من جامعة تكساس في عام 1949 ثم تم تعيينها كمدرسة في الرياضيات في جامعة ديوك. غادر رودن جامعة ديوك في العام 1950 ثم شغل منصب مدرس في معهد ماساشوستس للتقنية. خلال هذه الفترة أنهى مسودة كتابه Analysis Mathematical in Principles في ربيع عام .1952 وقد نشر الكتاب في العام .1953 وعين في العام 1952 برفسور في جامعة روشستر. تزوج والتر رودن من ماري في أغسطس من العام 1953 في هيوستن وقد أنجبا أربعة أولاد: كاثرين، إلينور، روبرت و شارلز. في العام 1958 ، مكنت زمالة سلون والتر من قضاء بعض الوقت في جامعة ييل. في ذلك الوقت تمت بالتدريس في الصيف لكنه مكالمته من قبل Bing.H.R من جامعة ويسكنسون-ماديسون لسؤاله إذا كان مهتماً رفض ذلك. ثم تم تعيينه أستاذا -ماديسون في عام .1959 وتم تكريمه فيما بعد بتعيينه ً في جامعة ميسكنسون في منصب أستاذية فيلاس، وهو أرقى أساتذة الجامعة للإنجاز العلمي و النهوض بالتعليم. وظل هناك حتى تقاعده في عام 1991 و أصبح أستاذاً فخرياً في ذلك الوقت. كان والتر رودن و زوجته أحد أبرز علماء الرياضيات في عصره وعمل في مختلف مجالات التحليل الرياضي آنذاك وقدم مساهمات كبيرة في كل منها. عكست أعماله المبكرة التدريب الكلاسيكي له و ركز فيها بالدراسات الجديدة في فضاء على دراسة المتسلسلات المثلثية و الدوال التحليلة في متغير واحد. وتأثر أيضاً باناخ و جبر الدوال. واحدة من أهم نتائجه في هذا المجال، و التي كانت بنا ًء على أعمال Beurling Arne ، وهي التوصيف الكامل للمثاليات المغلقة في جبر القرص في العام .1956 أيضا،ً أحد أهم المجالات التي إهتم بها رودن كانت في النظرية العامة في التحليل التوافقي على المجموعات الإبدالية المتراصة محليا 1950 و 1960 كان هذا المجال من المجالات الشهيرة و النشطو للغاية ً في أواخر في البحث لدرجة أن والتر إقترح أن يتم تقديم الإختصار “lgbalcag “بدلاً من locally a be G Let group Abelian compact والتي هي لتكن G زمرة إبدالية متراصة محلياً حيث أن هذه العبارة بدأت بها جميع ندوات التحليل الرياضي في ذلك الوقت. أحد أهم إنجازات والتر في هذا المجال كان في العام 1959 بالتعاون مع Katznelsop and ,Kahane ,Helson في توصيف الدوال التي تعمل على تحويلات فورير على جبر 1L . ثم قام والتر بتجميع جميع النتائج التي توصلوا إليها في كتابة تحويلات فورير على الزمر. في نهاية ،1960 تغيرت مرة أخرى إهتمامات والتر وبدأ بالعمل على مسائل التحليل المركب في عدة متغيرات. كان هذا من المجالات الجديدة و الغير مستكشفة في ذلك الوقت لدرجة لم يكن واضحاً حتى ماهو التعميم الصحيح لعدة متغيرات من أحادي البعد على قرص الوحدة. هناك إحتمالان على الأقل: الأقراص المتعددة أو الكرة. فقام والتر بإستكشاف كليهما. فعلى سبيل المثال، فقد أثبت على الأقراص المتعددة 1967 و على كرة الوحدة 1976 بأن المجموعات الصفرية على فئات p^H المختلفة للدوال تكون مختلفة. كان عمله في " conjecture function inner " أدى إلى كم هائل من الأبحاث. وبعد حلها من قبل Aleksandrov Low-Sibony-Hakim and ، قدم والتر مساهمات إضافية هامة لهذا السؤال. أغلب أعمال رودن في عدة متغيرات مركبة تم عرضها في ثلاثة كتب من كتبه في الرياضيات المتقدمة. الأول نشر في العام 1969 في نظرية الدوال على متعدد الأقراص. و الثاني نشر في العام 1980 وهو نظرية الدوال على كرة الوحدة. أما عمله على functions inner فتم تلخيصه في سلسلة محاضرات CBMS-NDF ، و التي نشرت بعد ذلك في العام .1986 عرف والتر رودن لأجيال من طلاب البكالوريوس وطلاب الدرسات العليا من خلال ثلاثة من الكتب Principles of Mathematical analysis (1953) Real and Complex analysis :المتميزة (1973) analysis Functional and) 1966 (. وقد حصل على جائزة الجمعية الرياضية الأمريكية للعرض الرياضي. وحصل على الدرجة الفخرية من جامعة فيينا في العام 2006 .

Wednesday, November 13, 2024

الأورجامي الحسابي

بقلم: روبرت لانغ

نقله إلى العربية: زهرة آل ناصر

تقريباً منذ أن وجد الحاسب، حاول الناس إيجاد طرق لتكوين الأورجامي - أو على الأقل، طي أشكال الورق- بإستخدام تقنيات الحاسوب. وبمجرد أن بدأو تطوير الأدوات الحسابية للطي، نشأ هناك المجال الذي يدعمه: الأورجامي الحسابي: دراسة القوانين الرياضية وبنية البيانات التي تنطبق على كلاً من الحساب و الطي.

الأورجامي الحسابي هو الجزء الفرعي من علوم الحاسب الذي يعرف بإسم الهندسة الحسابية: العديد من الخوارزميات للأول لها تطبيق في الأخير. نرى، على سبيل المثال، الهيكل المستقيم يظهر في العديد من المسائل المتنوعة مثل تصميم أورجامي الحشرات وتصميم سقوف المباني.

التحقق العملي لنظرية الأورجامي الحسابي و الخوارزميات هي أدوات- برامج حاسوب- و التي تنفذ تصميم الأورجامي و الحسابات. في هذا القسم، أقدم العديد من الإستكشافات الحسابية من عندي.

أوريجامي المحاكاة

محاولة مبكرة لعمل محاكاة طي تفاعلية، كتبت هذه بلغة الباسكال في وقت مبكر لحاسوب الماكنتوش.

صانع الأشجار

كان صانع الأشجار، أعتقد، أول أداة عملية لتصميم الأورجامي و التي إستطاعات التفوق على الإنسان (وإن كانت ضمن فئة قليلة من الهياكل). في حين أنني إستخدمته فقط من التصاميم، كتابته و إستعمال قابلياته قادني إلى النظرية الحديثة لـ uniaxial bases .

Reference Finder

موجد النقط المرجعية هو أداة بسيطة جداً لغرض واحد: إيجاد تقريبات جيد ومختصرة وصحيحة (أو متتابعة محددة) لطي نقطة معطاة أو مستقيم. موجد النقطر المرجعية يحل مشكلة لم تكن موجودة تقنيات التصميم الخوارزمية، وهو تطبيق عملي للحياة الواقعية للمسلمات Huzita-Justin Axioms .

Polypolyhedea

هذه المقالة تستكشف فئة معينة من أورجامي متعدد السطوح. لقد وجدت اول تعداد كامل

منذ مطلع الألفية، إنفجر مجال الأورجامي الحسابي وهناك أدوات حسابية أكثر وإستكشافات نظرية في هذا المجال. يمكنك التحقق من الروابط الرياضية\ والعلمية للعديد من التطورات الأخيرة.

المصدر: http://www.langorigami.com/science/computational/computational.php

رياضيات الأورجامي

بقلم: روبرت لانغ

نقله إلى العربية: زهرة آل ناصر

رياضيات الأورجامي هو المجموعة الفرعية من الرياضيات التي تصف القوانين الأساسية للأورجامي. وكجزء من الرياضيات، إنها جزء من تركيبة منطقية متناسقة (و إن كانت غير مكتملة) عميقة، لكن تطبيقها على أورجامي العالم الحقيقي له حدوده. رياضيات الأورجامي هو تقريب للطي في العالم الحقيقي، ومايمكن للمرء أن بناؤه، طيه، أو حسابه بإستخدام عمليات الأورجامي يعتمد، بشكل حاسم، على مايفترضه المرء من مسلمات ، قوانين، أو عمليات (إعتماداً على إختيارك من المسلمات).

واحدة من أبسط العمليات التي يستطيع المرء أن يختارها هي مجموعة " مسلمات Huzita-Justin " - مجموعة من ستة مسلمات (أو هي سبعة؟ ) عمليات أساسية و التي في الأورجامي تعادل البوصلة compass و ومستقسم البناء straightedge constructions في الهندسة البسيطة. وتحليلها يؤدي إلى بعض الرياضيات المثيرة للإهتمام في مجالات الأعداد و يمس نظرية جالوا. في حين أن هذه الإستكشافات ممارسات أكاديمية بحته، فإن HJAs توفر أداة حقيقية وعملية لتصميم الأورجامي: إنها الأساس لـ أداة إيجاد النقط المرجعية في الأورجامي.

مسلمات Huzita-Justin تصف أسلوب مقيد للغاية للطي: يمكن فقط أداء طي واحد في المرة الواحدة. وكل طي يجب فتحه قبل إنشاء الطي التالي. تقريباً جميع الأورجامي في العالم الحقيقي يقع خارج نطاق هذا الرياضيات. عندما نوسع حدوده قليلاً، بالسماح بإنشاء طيين في نفس الوقت، فهناك إنشاءات هندسية في الأورجامي أكثر يمكن إنشاؤها. في هذه المقالة، فأنا أصف يمكن تكوين " مسلمة الطيين"- بعمل طيين في نفس االوقت و التي خطوطها المستقيمة تعتمد على بعضها البعض- تعطي الحل بالضبط لقسيم الزاوية لخمس أقسام.

هذه الأمثلة القليلة بالكاد تخدش سطح العالم الواسع لرياضيات الأورجامي. ولأمثلة أكثر راجع هذه الصفحة لروابط رياضية/ علمية بالتحديد.

Tuesday, March 24, 2015

الأورجامي: العلم، الرياضيات، و التكنولوجيا

بقلم: روبرت لانغ

نقله إلى العربية: زهرة آل ناصر

إن الإلتقاءات بين الأورجامي و الرياضيات و العلم تحدث على مستويات عديدة وتشمل الكثير من المجالات من هذا الأخير. يمكننا تصنيف هذه الإلتقاءات في مايقارب الثلاثة فئات:

v رياضيات الأورجامي، و التي تشمل الرياضيات التي تصف القوانين الأساسية للأورجامي.

v الأورجامي الحسابي، و التي تضم الخوارزميات و النظرية المخصصة لحل مسائل الأورجامي بالوسائل الرياضية.

v أورجامي التكنولوجيا، و التي هي تطبيق للأورجامي (و الطي بشكل عام) لحل المسائل الناشئة في الهندسة و التصميم الصناعي و التكنولوجيا عامةً.

هذه التقسيمات عشوائية بعض الشئ، طبعاً؛ يمكن أن يختلط نوع بنوع آخر. رياضيات الأورجامي يعّرف القواعد الرئيسية لهدف الأورجامي الحسابي في حل مسائل تصميم الأروجامي (وقياس مدى صعوبتها). ونتائج الأورجامي الحسابي، بدورها، يمكن أن تدخل (ودخلت) في خدمة وحل المشكلات التكنولوجية بدءاً من منتجات العملاء إلى برنامج الفضاء.

في هذا القسم بالرابط أعلاه، سوف تجد أمثلة لجميع الثلاثة أنواع المتداخلة. لاتتردد في الإستكشاف، وليس هناك أي ترتيب محدد لقرائتها.

المؤتمرات

منذ العام 1989، كان هناك العديد من المؤتمرات العلمية العالمية الناجحة جداً تبحث في الصلة بين الأورجامي و الرياضيات و العلم و(منذ 2001) التعليم. عقدت هذه المؤتمرات على فترات غير منتظمة- بالأساس، كلما قرر رئيس و منظمة راعية أن الوقت قد حان للمؤتمر المقبل. انقر هنا لمزيد من المعلومات حول هذه الإجتماعات.

روابط

إنقر هنا للمزيد من الروابط لمزيد من المعلومات عن الأورجامي في العلم و الرياضيات و التكنولوجيا.
http://www.langorigami.com/science/sciencelinks.php

المصدر: http://www.langorigami.com/science/science.php

للمزيد من القراءة: أوريغامي/http://ar.wikipedia.org/wiki/

Monday, December 8, 2014

الكرات الغريبة أو لماذا فضاء البعد الرابع مكان مجنون؟

بقلم: ريتشارد إلوس
نقله إلى العربيه: زهره آل ناصر

المكان الذي نعيش فيه هو بالتحديد ذو ثلاثة أبعاد: أعلى / أسفل، يسار / يمين ، إلى الأمام/ إلى الخلف. هذه هي فقط طرق الإنتقال. لسنوات فكّر العلماء و كتّاب الخيال العلمي في إمكانيات فراغات الأبعاد العليا. كيف سيكون شكل العالم ذي 4 أو 5 أبعاد؟ أو حتى هل سيكون صحيحاً ، كما إقترح البعض، أننا قد سكنا في هذا الفراغ، أن منزلنا ذي 3 أبعاد ليس إلا شريحه خلال عالم الأبعاد العليا تماماً كما أن شريحه خلال مكعب البعد الثالث تنتج مربع في البعد الثاني؟

تماماً كما يمكن إسقاط الأشكال من البعد 3إلى البعد 2 في المستوى، يمكن إسقاط أشكال البعد 4 على البعد3 في الفراغ. هذه الصورة هي إسقاط الكرة الزائدية من البعد4. المنحنيات هي إسقاطات الكرة الزائدية للخطوط المتوازية(أحمر) خطوط الطول (أزرق)وخطوط الطول الزائدية (أخضر).الصورة
Claudio Rocchini from Wikimedia

تبعاً لكاتب الرعب H.P.Lovecraft لوفكرافت في أوائل القرن العشرين، أن هذه الأبعاد العليا موجوده بالفعل و تعد موطناً لجميع أنواع المخلوقات الشريره. في أسطوره لوفكرافت ، أفظع هذه الكائنات يطلق عليه إسم Yog-Sothoth. و من المثير للإهتمام أنه في المناسبات النادره التي يظهر فيها Yog-Sothoth في عالم الإنسان فإنه يأخذ شكل مجموعه من الكرات قزحيه اللألوان ...مذهل في دلاللاته الخبيثه. كان لدى لوفكرافت بعض الإهتمام بالرياضيات، و في الحقيقه فقد إستخدم بعض الأفكار مثل الهندسيه الزائديه ليقدم بعض الغرابه لقصصه ( كما ناقش توماس هال في آفاق الرياضيات Math Horizons ) لكنه لم يستطع أن يعرف كم كان الحظ في قرار إظهار Yog-Sothoth في هذه الهيئه. الكرات الغريبه حقاً هي المفاتيح لعوالم الأبعاد العليا،و إزداد فهمنا لها بشكل كبير في السنوات الأخيره. خلال السنوات الخمسين الأخيره نمى موضوع التوبولوجيا التفاضليه و كشف عن مدى غرابه هذه الأماكن.

الأبعاد العليا و الكره الزائديه

هل الأبعاد العليا موجوده؟ تقدم الرياضيات إجابه مؤكده مفاجئه لهذا السؤال. مثلما يمكن وصف المستوى ذي البعدين بواسطه أزواج من الإحداثيات مثل (5،6) مع الإشاره إلى زوج الإحداثيات ، كذلك يمكن وصف فضاء البعد الثالث عن طريق ثلاثيات من الأعداد مثل (3،6،5) . طبعاً يمكن الإستمرار على خط التفكير هذا: الفراغ من البعد الرابع ، بالنسبه للرياضيين، يتم تحديده من مجموعات رباعيه من الأعداد الحقيقه مثل (2،3،6،5). و هذه الطريقه تتوسع للأبعاد العليا. بالطبع فإن هذا لايجيب على سؤال الفيزيائي، ماإذا كانت هذه الأبعاد لها أي وجود مادي مجرد. لكن رياضياً، على الأقل، طالما كنت تعتقد بالأرقام ليس لديك الكثير من الخيارات إلا الإعتقاد بفراغ البعد الرابع أيضاً.

حسن ذلك جيد، لكن كيف يمكن تخيل مثل هذه الأماكن؟ كيف يبدو شكل مخبأ Yog-Sothoth ؟ هذا هو السؤال الأصعب للإجابه ، حيث أن عقولنا ليست غريبه لنرى الفراغات ذات الأبعاد الأكثر من ثلاثه. و لكن مره أخرى، يمكن أن تساعدنا التقنيات الرياضيه، أولاً عن طريق السماح لنا بتعميم الظواهر التي نراها في الفراغات الإعتياديه.

كمثال مهم هو الكره . إذا إخترت موضع على الأرض، ثم وضعت علامه على جميع النقاط التي تبعد 1سم عنها فإن الشكل الذي يظهر هو دائره قطرها 1سم . إذا فعلت نفس الشئ لكن في الفضاء ذي 3 أبعاد فإننا نحصل على كره عاديه. والآن نصل إلى الجزء المثير، لأن نفس الخدعه يمكن أن تعمل في الأربعه أبعاد و تنتج أول كره زائديه hypersphere .

كيف يبدو ذلك؟ حسناً، عندما ننظر إلى الدائره عن قرب فكل مقطع يشبه المستقيم العادي في البعد الأول ( وهكذا فإن الدائره تسمى أيضاً الدائره-1) الفرق بين الدائره و المستقيم أنه عندما ننظر لهما من البعد ، كل شئ ينحني ليتصل مع بعضه و له فقط طول منحني. و بنفس الطريقه كل قطعه من الكره العاديه ( و هذا مايعرف بالكره -2) يشبه القطعه من المستوى في البعد 2. مره أخرى، هذه القطع يتم خياطتها معاً بطريقه لاتترك أي حدود، ولها مساحه منتهيه فقط. حتى الآن يمكن التنبؤ، و لكن نفس الشئ بالضبط صحيح لأول كره زائديه (أو كره-3). كل مساحه تشبه الفراغ من البعد الثالث الإعتيادي. قد نكون نعيش في واحده الآن،لكل مابوسعنا رؤيته. لكن مثلما في أعمامها الأبعاد السفلى، كل شئ ينحني على نفسه بطريقه لاتسطح فراغ البعد الثالث و تنتج شكل من دون حدود و فقط حجم منتهي. بالطبع لانتوقف هنا، الكره الزائديه التاليه (كره-4) هي مثل كل مقطع تشبه فراغ البعد الرابع، و هكذا دواليك في كل بعد.

من الهندسه إلى التبولوجي إلى التوبولوجي التفاضلي

مثل الهندسه ، التوبولوجي هو فرع من الرياضيات الذي يدرس الأشكال. أحد الأسئله الأساسيه عندما نسأل متى يكون شكلين هما في الحقيقه نفسهما؟ و هو لايملك إجابه واحده، إنه يعتمد على هيئه الشكل الذي أنت مهتم به. وبشكل أساسي، إذا كان الشكلين متطابقين لكنهما موضوعين في أماكن مختلفه فإنه لمعظم الأغراض سنعتبرهما على أنهما "نفس الشئ".

في التوبولوجيي، الدونات و الكأس هما نفس الشئ لأنه يمكن تشكيل أو تحويل أحدهما للآخر

يملك التوبولوجي مفهوم أوسع للتشابه من الهندسه. هنا، نعتبر الشكلين " نفس الشئ" إذا أمكن سحب أو شد أو ثني أحدهما إلى الآخر. و بذلك ، بالنسبه للتبولوجيين، المثلثات و أشباه المنحرفات و سباعيه الأضلاع ... الخ هي نفس الشئ: كلهم فقط دوائر. من ناحيه أخرى، الشكل 8 هو حقاً شكل مختلف لأن التعريف التبولوجي للتشابه لايشمل القطع أو اللصق في الشكل. و بالتالي 8 لايمكن أبداً سحبه إلى شكل دائره ، كما هو ممنوع القطع. و كذلك الحال مع i حيث أن الجزئين لايمكن إلصاقهما معاً.

إذا كنت مهتماً بأشياء مثل الزوايا، الأطوال، أو المساحات فمن ثم وجهه النظر التوبولوجيه هي الخاطئه. لكن الكثير من البيانات الهامه تبقى على هذا الصعيد: مثال مشهور هو خريطه أنبوب لندن. هنا ليس الطول أو إنحناء الإنبوب بالضبط هو الذي يهم، لكن أشياء مثل ترتيب المحطات و الطرق التي تتقاطع بها الأنابيب المختلفه . هذه الظواهر هي تبولوجيه بطبيعتها و لاتتأثر بالتحويلات التبولوجيه. وهذا أمر مريح لأنه يسمح لأبناء لندن بإستخدام خريطه تخطيطيه مبسطه بدلاً من الخريطه التفصيليه للمدينه بأكملها و تتضمن التوجيهات الدقيقه لجميع مسالك خطوط الأنابيب.

بعض الأشكال، مثل الحلقه على شكل الدونات، تحتوي على ثقوب. هذه الثقوب ضروريه: لايمكن إزالتها عن طريق الإلتواء و التمدد التوبولوجي. لكن ماهي الأشكال التي لاتحوي ثقوب؟ النظريه الأكثر شهره في التوبولوجي، تخمين بونكاريه Poincaré conjecture تقدم إجابه أنيقه على هذا السؤال : إنه يقول أن الشكل الوحيد هو الكره. هذا غير صحيح من وجهه النظر الهندسيه، مثل المكعب و الهرم و السداسي. و العديد من الأشكال الأخرى و التي جميعها لاتحتوي على ثقوب. لكن ، بالطبع، بالنسبه للتبولوجيين كل هذه الأشكال المثيره لاتمثل أكثر من كره.

عرفنا منذ العام 2002 أن تخمين بونكاريه هو في الحقيقه صحيح. سؤال هنري بونكاريه الأصلي يتعلق بالكره-3 ( ذي البعد3) لكن في الواقع نفس الش ينطبق بالضبط على الأبعاد العليا أيضاً. على الرغم من ذلك، في العام 1956 وصل الدليل الأول أن هناك تغيراً طفيفاً في وجهه النظر سيجعل القصه أكثر تعقيداً بشكل كبير. عندما نقترب من خلال الموضوع الجديد التوبولوجيا التفاضليه، تبدأ فراغات الأبعاد العليا بالكشف عن بعض أسرارها غير العاديه .

الثغرات و المنعطفات و الزوايا

الفرق بين التوبولوجي المستوي plane topology و التوبولوجي التفاضلي differential topology يبدو دقيقاً للغايه لكن إتضح أن له نتائج مدهشه. يتوقف ذلك على نوع الإنسحاب و الإلتواء اللذان يسمح بهما خلال عمليه التشكيل. و لهذا تأثير كبير على الأشكال التي تعتبر " نفس الشئ".

هذه الكسورية تدعى بمجموعة جوليا. متصلة لكنها ليست ملساء في أي مكان.
Julia Set

الإنقسام من العمليات التي هي بين المتصله بمعنى أنها لاتقفز أو تنقطع و غيرها ، والأخرى التي هي ملساء. كون العمليه ملساء هو شرط أقوى بكثير من مجرد الإتصال. ينطبق نفس الشئ على تمييز الأشكال نفسها: الدوائر و الكرات هما مثالان على الأشكال الملساء في حين أن المربع و المكعب هما أشكال ليست ملساء بسبب حوافها و زواياها الحاده. كلها متصله و لكن لأن هذه الحواف ليس لديها ثغرات أو قفزات. ( الخط المنقطع هو الخط الذي يأتي في قطعتين منفصتين). حتى أن هناك أنماط كسوريه و التي هي متصله في كل مكان لكنها ليست ملساء في أي مكان.

بنفس الطريقه، يمكننا أن نميز بين التشكيل الذي هو أملس فعلاً و الذي هو متصل فقط . و لكن ربما يكون متقلب و مشوه. إنها ليست واضحه على الإطلاق على الرغم من ذلك هذا التمييز يجب أن يكون مهماً كثيراً. أيكون من الممكن حقاً أن شكلين ( يطلق عليهما مانيفولداتmanifolds بلغه التوبولوجيين) متشابهين من وجهه النظر التوبولوجيه ( من الناحيه التقنيه، متشاكلينhomeomorphic ) لكنهما ليسا نفس الشئ من الناحيه التفاضليه ( ليسا دفيومورفيكdiffeomorphic )؟ و بكلام آخر ، هل يمكننا أن نحصل على شكلين يمكن تشكيلهما إلى بعضهما البعض من غير قطع لكن هذا التحول لا يمكن أن يكون أملس، إنها تحتاج هزّات و قفزات؟ بالتأكيد يصعب تخيل ذلك لأسباب ليست أقلها أنه لم يحدث أبداً في الأبعاد 1، 2، 3.

الكرات الغريبه

في العام 1956، كان جون ميلنور يدرس المانفوليدات من البعد السابع عندما وجد الشكل الذي يبدو غريباً جداً. من ناحيه، لايحتوي على أي ثقوب و بذلك يبدو مثل الكره. و من ناحيه أخرى، الطريقه التي ينحني بها لاتبدو مثل الكره على الإطلاق. في البدايه، إعتقد ميلنور أنه وجد مثال مناقض لتخمين بونكاريه من البعد السابع: شكل من دون ثقوب و الذي ليس كره. لكن بالتفحص عن قرب، شكله الجديد يمكن تحويله إلى كره ( كما أصر بونكاريه على أن يكون قادراً على ذلك) لكن لايمكن عمل ذلك على نحو سلس. لذلك، حتى لو كانت من الناحيه التوبولوجيه كره، فمن الناحيه التفاضليه ليس كذلك.

وجد ميلنور أول كره غريبه، وقد ذهب لأبعد من ذلك بالعثور على المزيد في الأبعاد الأخرى. كانت النتيجه في كل حاله كره توبولوجيه لكنها ليست تفاضليه. طريقه أخرى لقول نفس الشئ : أن الكرات الغريبه Exotic spheres تمثل طرق لعرض مفاهيم غير عاديه للمسافه و الإنحناء على الكره العاديه.

في اللأبعاد الأول و الثاني و الثالث ليست هناك كرات غريبه، فقط الكرات العاديه. و ذلك لأن المفاهيم التوبولوجيه و التفاضليه لا تختلف في هذه الفراغات المألوفه. وبالمثل في الفراغات ذات البعد الخامس و السادس يوجد فقط الكرات العاديه، لكن في البعد السابع ، للمفاجأه هناك 28 منهم. وفي اللأبعاد الأعلى فإن العدد يتراوح بين 1 و عدد كبير إختياري .

الموضوع الذي بقي غامضاً حتى اليوم هو فراغ البعد الرابع. لم يتم العثور على أي من الكرات الغريبه. و في نفس الوقت لم يستطع أحد إثبات عدم إمكانيه وجودها. التأكيد على أنه لاتوجد كرات غريبه في البعد الرابع يعرف بـ تخمين بونكاريه الأملسsmooth Poincaré conjecture . في حاله أن أي شخص وصل لهنا و غير متأكد، فدعني أجعل ذلك واضحاً: تخمين بونكاريه الأملس هو ليس نفسه تخمين بونكاريه ! من بين كل الإختلافات، لقد تم إثبات تخمين بونكاريه، لكن تخمين بونكاريه الأملس بقي بعناد مفتوح حتى اليوم.

العالم الغريب من الأربعه أبعاد

إذن، هل تخمين بونكاريه الأملس صحيح؟ معظم الرياضيين يميلون إلى إعتباره خاطئ و أنه من المحتمل وجود كرات غريبه من البعد الرابع. و السبب في ذلك أن فراغ البعد الرابع عرف مسبقاً أنه مكان غريب للغايه، حيث أن جميع أنواع الأشياء المفاجئه تحدث. و كمثال أساسي على ذلك هو الإكتشاف في العام 1983 لنوع جديد تماماً من الأشكال في البعد الرابع ، واحد لايمكن جعله أملساً أبداً.

كما ناقشنا أعلاه ، المربع ليس شكلاً أملس بسبب زواياه الحاده. لكن يمكن جعله أملس. و هذا يعني أنه توبولوجياً مطابق لشكل أملس، يسمى الدائره. في العام 1983، على الرغم من ذلك، إكتشف سايمون دونالدسون Simon Donaldsonفصل جديد من مانفوليدات البعد الرابع و التي لايمكن جعلها ملساء: فهي مملوءه بالمنعطفات و الحواف الحاده بحيث أنه لايمكن بأي طريقه إزالتها كلها.

و أبعد من ذلك فإن الكره ليست الوحيده التي تأتي بشكل غريب. من المعروف الآن أن فراغ البعد 4 نفسه (أو

) يأتي بأشكال مختلفه. فهناك الفراغ الإعتيادي المنبسط ، ولكن بجانبه الغريب. كلاهما مطابقين توبولوجياً للفراغ الإعتيادي، و لكن ليسوا متطابقين تفاضلياً. و للدهشه كما أثبت كليفورد توبس Cliff Taubesفي العام 1987م ، أن هناك عدد لانهائي من هذه الحقائق البديله. وبهذا الصدد، البعد الرابع هو حقاً عالم لانهائي أغرب من كل مجال آخر: لكل الأبعاد الأخرى

، يوجد فقط شكل واحد من

. ربما بعد كل شئ فإن البعد الرابع هو المحيط الرياضي المناسب للعالم الغريب لكتّاب الخيال العلمي.

هذه المقاله ظهرت لأول مره في مجله Plus Magazine بعنوان Exotic spheres, or why 4-dimentional space is a crazy place by Richard Elwes .
http://plus.maths.org/content/richard-elwes

Saturday, October 26, 2013

الأورجامـــــــــــــــــــــــي

فن طي الأوراق بإستخدام الرياضيات
بقلم: ليز نيوتن
ترجمه: زهرة آل ناصر

الهيكل العظمي للديناصور Allosaurus من صنع روبرت لانغ . مصنوع من ورقه مربعه ذات بعد 16 إنش و حجمه 24 إنش . صور: روبرت لانغ.

كنت أحمل رتبة ماستر في الأورجامي عندما كنت في التاسعة من عمري. كان لدي صديقٌة من اليابان تدعى كيم و التي كانت تزور إنجلترا لمدة سنة. في الوقت الذي قمت فيه بعرض الأشياء الممتعة التي يمكن لها أن تفعلها في إنجلترا ، علمتني هي كل الأشياء اليابانية الجميلة إبتداءً من رسم الأشكال الكرتونيه Manga إلى عمل السوشي. و بالطبع فقد علمتني شيئاً آخر هو الأورجامي - وفي أحد أوقات الظهيرة علمتني كيف أصنع طائراً ورقياً. منذ تلك اللحظة، كنت أفضل ماستر في الأورجامي - أو كما كنت أظن. إنقضت خمسة عشرعاماً قبل أن أدرك أنني لم أكن كذلك، وفي الواقع لم أكن أي شئ قريب من الماستر في الأورجامي .

المثير للدهشة أنني لم أكن الوحيدة التي إعتقدت ذلك ، كان هناك بلا شك العديد من الفنانين على مر التاريخ الذين إعتقدوا حقاً بأنهم حققوا أفضل الإنتاج و أكثر النماذج تعقيداً في الأورجامي . لكن في الواقع ، لم يكن ذلك حتى القرن العشرين مع ظهور الحواسيب حيث أخذ الأورجامي إنطلاقته الحقيقية.

لمحه تاريخيه عن الأورجامي

على الرغم من أن الأورجامي في الوقت الحاضر مرتبط باليابان ، إلا أن هناك إشاره مسجلة بأنه قدم من الصين حيث تم صناعة أول ورقة حوال 200AD كبديل رخيص للحرير. عرف فن طي الورق الصيني بـ ( Zhezhi ) وأحضر مع الورق إلى اليابان في القرن السادس بواسطة الرهبان البوذيون الصينيون.

حصان مجنح صنعه روبرت لانغ من ورقه مربعه ومن غير تقطيع الحجم: 7 إنش. صور: روبرت لانغ .

إنتشر الأورجامي في اليابان منذ ذلك الوقت. الكلمة اليابانية الأورجامي هي بحد ذاتها مكونة من كلمتين أصغر في ال اٌليابانية ، " أوري" التي تعني طي و " جام " وهي تعني ورقة. كان هذا الفن ( و ما زٌال ) تسلية شائعة للطلاب اليابانين لقرون عديدة.
وهكذا بقي الوضع، بينما كان مختلفاً للعامل الياباني أكيرا يوشيزاوا الذي ولد في العام 1911 لعائلة تعمل في مزرعة ألبان. إستمتع أكيرا باللعب بالأورجامي عندما كان طفلاً، وكمعظم الأطفال فقد توقف تدريجياًٌ عندما كبر بالسن و وجد أشياء جديده لشغل وقته. على الرغم من ذلك فخلافاً لكل الأطفال فقد إستعاد علاقته مع الأورجامي عندما كان في بداية العشرين من عمره. كان قد حصل على عمل في مصنع؛ تعليم المبتدئين العاملين الهندسه، وقد أدرك أن الأورجامي سيكون طريقه بسيطه و فعاله ليعلم طلابه الزوايا والخطوط والأشكال.

كان كلما تدرب يوشيزاوا أكثر وأكثر، طّور بعض التقنيات الرائدة مثل " الطي الرطب" ، الذي سمح بتكوين نماذج معقدة و منحنيات يتم تشكيلها بورقة واحدة فقط. كان عمله هذا قد بدأ نهضة في الأورجامي، مع تقنياته الحديثه التي حوّلت الأورجامي من الغرائب الى شكل من أشكال الفن. وكلما تم تصميم أشكال معقده أكثر وأكثر في الأورجامي ، بدأ هذا الفن في الحصول على الإهتمام من الرياضيين، الذين كان لديهم نفس الفكرة مثل يوشيزاوا – يوجد هناك تحويل بين طي الأوراق والهندسة. أدت الدراسة الرياضية للأورجامي لإتباع نهج جديد لمشكلتين كانت تمتد جذورهما الى ثقافتين مختلفتين، على قارتين مختلفتين، قبل العديد العديد من السنوات .

العناصر لإقليدس
كان إقليدس الإسكندري رياضياٌ يونانياٌ عاش قبل2000 سنة ، وغالباً ماكان يسمى بأب الهندسة. كتاب العناصر لإقليدس هو من أكثرالكتب نجاحاً في تاريخ الرياضيات، وأول مناقشة منهجيه للهندسة. عرف إقليدس أنه بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة فإنه يمكن
تنفيذ عدد كبير من العمليات الهندسية مثل رسم الخماسي والسداسي والدائرة. كان هذا معروفاً على نطاق واسع في ذلك الوقت ، وكانت مقدرة إقليدس على عمل ذلك عاديه.

لكن إقليدس عمل مالم يعمله أحد من قبله، بدأ الأسلوب المنهجي لعلم الهندسة. جميع الأشكال الهندسية و جميع النتائج الرياضية في العناصر مستمدة خطوة بخطوة من مجموعة من خمسه فرضيات والتي تشمل جميع العمليات الممكنة بإستخدام الحافة المستقيمة والبوصلة :

بواسطه نقطتين، يمكن للمرء أن يرسم خط مستقيم بينهما.

يمكن تمديد أي قطعة مستقيمة بدون حدود .

من خلال نقطة وقطعة مستقيمة تبدأ من النقطة، يمكن وصف دائرة بحيث أن هذه النقطة هي مركزها والقطعة المستقيمة هي نصف قطرها.

جميع الزوايا القائمة متساوية.

بواسطة مستقيم ونقطة p ليست على المستقيم، فهناك مستقيم واحد و واحد فقط يمر خلال p ولايتلاقى مع المستقيم الأصلي.

هذه الفرضيات والتي تعرف بمسلمات إقليدس، تبدو بديهية، و في الحقيقة فإن
إقليدس نفسه إفترض أنها واضحة بذاتها. لكن جمالها يظهر في حقيقة أنه يمكن
إستخدامها لبناء براهين هندسيه لنظريات التي هي أكثر تعقيداً بكثير من المسلمات
نفسها .

لكن هناك بعض القصور في الهندسة الإقليدية. إثنتان من المسائل الأكثر شهرة في العصور القديمه هي مسألة ثلث الزاوية (تقسيم زاوية معطاه الى ثلاثة أقسام متساوية) و مضاعفة المكعب (بناء مكعب كٌون حجمه بالضبط ضعف حجم مكعب معطى). وفقاً للأسطورة،واجه مواطنوا ديلوس القدماء المسألة الثانية حين نصحهم أوراكل في دلفي بمضاعفة حجم المذبح لتجنب وباء الطاعون. لكن تبين إستحالة عمل ذلك بإستخدام طريقة إقليدس بالحافة المستقيمة والبوصلة ونفس الشئ ينطبق على مسألة ثلث الزاوية. لكن ظٌهر بأنه يمكن حل كلتا المسألتان بإستخدام الأورجامي ! بالنتيجة وصلنا إلى إمكانية مذهلة بأن هندسة الأورجامي لها قوة أكثر من هندسة إقليدس.

نبات الكرمه مصنوعه من عدد من الأوراق الكوريه ، سلك ، و خشب. الحجم: 15 إنش. صور: روبرت لانغ.

عبقرية الأورجامي

تماماً كما وضع إقليدس مسلمات للهندسة المستوية، فإن عالما الرياضيات الحديثه هومياتي هوزيترا و كوشيرا هاتوري قاما بوضع مجموعة من المسلمات لوصف هندسة الأورجامي.

المسلمه1: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإن هناك طي وحيد للورقة ليمر خلال النقطتين.

المسلمه2: بواسطه نقطتين $p_1$ و $p_2$ معطاه، فإنه يوجد طي وحيد لتنطبق النقطة $p_1$ على $p_2$ .

المسلمه 3: بإعطاء مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لينطبق $l_1$ على $l_2$ .

المسلمه4: عن طريق نقطة $p_1$ ومستقيم $l_1$ معطيان، فهناك طي وحيد عمودي على المستقيم $l_1$ ويمر بالنقطه $p_1$ .

المسلمه5: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيم $l_1$ ، فإنه يوجد طي لتنطبق النقطة $p_1$ على المستقيم $l_1$ ويمر خلال النقطة $p_2$ .

المسلمه6: بواسطة نقطتين $p_1$ و $p_2$ ومستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فيوجد طي لتنطبق $p_1$ على $l_1$ و $p_2$ على $l_2$ .

المسلمه7: بإعطاء نقطة $p$ و مستقيمين $l_1$ و $l_2$ ، فهناك طي لتنطبق $p$ على وعمودي على $l_2$ .

ثلث الزاويه

تعتبر المسلمة السابعة هي المفتاح لكلا المسألتين ثلث الزاوية ومضاعفة المكعب. لنبدأ بإنشاء الزاوية. بإتباع الخطوات الموضحة أدناه، من الممكن أن نرى كيف أن هذه المسلمات البسيطة تمكن بتنفيذ عملية كانت مستعصية على إقليدس. (رسم روبرت لانغ).

ربما سوف يقنعك هذا أن هذه التقنية تعمل، لكن للمشككين، هنا برهان على ذلك.(هذه الطريقة مناسبه لأي زاوية أقل من 90. هناك طرق أخرى للزوايا الأكبر.)

مضاعفه المكعب

إفترض أننا أعطينا مكعب طول ضلعه $s_1$ وله الحجم $V$ . مهمتك هي إيجاد طول الضلع $s_2$ للمكعب الذي حجمه $2V$ .

في حال أن لديك شك، هنا برهان على ذلك.

كل ذلك في الدرجه الثالثه

إذن، ماهو الشئ الذي يعطي الأورجامي القدره على حل مسألتين تقليديتين؟الجواب يكمن في حقيقة أن كلا المشكلتين يتلخص حلهما في حل المعادله التكعيبية. في حالة المكعب، فإنك تبحث عن ضلع المكعب $s_2,$ ،وهكذا يكون

   $s_2^3=2V,$

حيث $V$ هو الحجم المعطى للمكعب. بما أن $V=s_1^3$    حيث $s_1$ هو طول الضلع المعطى للمكعب، يكون لدينا
   $s_2^3=2s_1^3,$
و الذي بدوره يعني أن

                                                                      $s_2=\sqrt [3]{2}s_1.$

بما انك تعلم قيمة $s_1$ ، فإن $\sqrt [3]{2}$ هو الذي تحتاجه. وهذا هو الذي أوجدناه بالضبط في البناء العلوي.
الزاويه الإختيارية $\psi$ يمكن تقسيمها إلى ثلاثة أقسام بإستخدام علم المثلثات: بكتابة $\psi = 3\theta$ وتطبيق الصيغة المثلثية لجيب تمام مجموع الزاويتين، نحصل على

             $\cos (\psi )=\cos (\theta + 2\theta ) = \cos (\theta )\cos (2\theta )-\sin (\theta )\sin (2\theta ).$
والآن

                                          $\cos (2\theta )=\cos (\theta )^2-\sin (\theta )^2$

بإستبدال ذلك في المعادلة أعلاه والتبسيط نحصل على

                                      $\cos (3\theta ) = 4\cos (\theta )^3-3\cos (\theta ).$

حل المعادلة التكعيبية يعطي القيم المحتملة لـ $\cos (\theta )$ والتي من خلالها يمكن إيجاد $\theta$ .
ينتج ان الأورجامي لايمكنه فقط حل كلتا المعادلتين التكعيبيتين المرتبيطتين بالمسـألتين أعلاه، بل أي معادله تكعيبية و الذي يعني أن أي معادله على الشكل

                                               $ax^3+bx^2+cx+d=0,$

لبعض قيم $a$ و $b$ و $c$ و $d$ (يمكنك معرفة كيف يمكن عمل ذلك على الموقع الإلكتروني كاشيروا هاتوري) وفي حين أن طريقة إقليدس يمكنها حل المعادلة التربيعية هندسياً فقط بإستخدام الحافة المستقيمة و البوصلة فلا يمكنها حل المعادلة التكعيبية.

الأورجامي الحسابي

أحد رواد الرياضيات الحديثة في الأورجامي روبرت لانغ، رياضي أمريكي و فنان في الأورجامي. في العام 1989، كتب لانغ مقالة لمجلة الهندسة و العلوم التي تسائل فيها عما إذا كان الحاسب قادر في يوم من الأيام على على تصميم نموذج أورجامي يعتبر أفضل من التي صممها الإنسان؟ كان هذا السؤال الذي أثار إهتمامه إلى الحد الذي جعله في العام 1990 يعمل على كتابة برنامج الحاسب الذي يمكنه من عمل ذلك بالضبط.

من اليسار : نموذج الطي المعمول بإستخدام البرنامج treemaker و الأساس النهائي و الشكل النهائي . صور: روبرت لانغ.

في خلال بضعة شهور، قدم لانغ الإصدار الأول على شكل نموذج من البرمجيات و التي أسماها TreeMaker (سميت بذلك لأن الأشكال التي تستخدم كنقطة بداية تشبه الأشجار) كان هذا البرنامج قادر على تحويل رسم الخطوط البسيطة أو الشكل إلى خطة للورقة التي يمكن من خلالها طي النموذج.

في هذا السياق فإن القاعدة هو الشكل الهندسي الذي يحتوي على طيات يكون عددها تبعاً لعدد جميع الأجزاء المكونة لنموذج الأورجامي. وهكذا فإن طائر اللقلق، المكون من جناحين وذيل ورأس يكون مكون من أربعة طيات، بينما حشرة مكونة من ستة أرجل و رأس وبطن تكون مكونة من ثمانية طيات.

في البداية كان برنامج TreeMaker بكلام لانغ:"أكثر بقليل من مجرد فضول رياضي" لكن على مدى السنوات الثمان المقبلة، في الوقت الذي نما فيه فهم لانغ لطي النماذج، فقد أضاف اللوغاريثم للبرنامج. في العام 1998، كان البرنامج قادر على تكوين نموذج طي لعدد كبير من أساسيات الأورجامي.

الأفعى الجرسيه مصنوعه من ورقه غير مقطوعه مستطيله من الورق التايواني. الحجم: 8 إنش . صور: روبرت لانغ.

و اليوم لدى لانغ الآلآف من أشكال الأورجامي. في حين أنه ليس كل هذه الأشكال صممت بواسطة مساعدة TreeMaker، فإن أكثر النماذج تعقيداً ستكون مستحيلة من دونه. صور من إنتاجه متفرقة في هذه المقالة.

تكنولوجيا الأورجامي

في حين أن بعض النماذج المصممه بواسطه لانغ و آخرون هي حقاً مذهله، فمن السهل رفض الأورجامي كفن بسيط: جميل لكن من دون تطبيق في العالم الحقيقي. يأتي الامر نوعاً ما كمفاجأه ، بعد ذلك، لإكتشاف أن تقنيات الأورجامي أنه يجري إستخدامها في النطاق التكنولوجي من تلسكوب الفضاء الى الوساده الهوائيه للسياره.

الضبي الإيرلندي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه من الورق الكوري. الحجم: 9 إنش. صور: روبرت لانغ.

كان تلسكوب الفضاء هبل أطلق في المدار بواسطه مكوك الفضاء ديسكفري في العام 1990 ، و قام علماء الفضاء بالعمل على (). ومن دون توجيه إتهام بقله الطموح، طرح رودريك هايد على فريق البصريات في مختبر لورانس ليفرمور في ليفرمور ، كاليفورنيا ، فكره صنع تلسكوب أكبر بأربعين مره من هبل. التلسكوب هبل نفسه ليس صغيراً ، طوله 13 متر و له فتحه 2.4 متر. التلسكوب هايد اقترح ليكون له فتحه حوالي 100 متر ، وطوله مئات الأمتار. و فوراً قد طرح ذلك مشكله تنفيذيه : حتى لو أنه أمكن تصميم شئ من هذا القبيل، كيف يمكن إدخاله في المدار؟

جاء الجواب عندما أدرك الباحثون أنه من الممكن إنشاء عدسه قابله للطي و التي يمكن شحنها في مكوك الفضاء. المسافه بين عدستي التلسكوب يمكن إنجازها ببساطه بواسطه وضع عدستين في المدار على مسافه مناسبه من بعضهما البعض، حيث أن عدم وجود طاقه الجاذبيه سيسمح ببقائهما. و برؤيه الرابط مع طي الأوراق ، على الفور تم الإتصال بروبرت لانغ لسؤاله عن رأيه الخبير.

بإستخدام اللوغاريتمات من برنامج الحاسب TreeMaker ، إستطاع لانغ بتزويد المهندسين من الشركه الألمانيه EASi Engineering بحل مشكلتهم في الطي. كان ذلك أساسياً لتمثيل الوساده الهوائيه على شكل سلسله من المضلعات ، و التي حوافها تبقى محاذيه قبل و بعد الطي- مهمه يمكن أن تتحقق مع نموذج طي مفصل مثل تلك التي إستخدمها لانغ لنماذج الأورجامي.

مـــاستر في الأورجامـي

لـفن هو قديم قدم الورقه نفسها ، أخذ الأورجامي وقتاً طويلاً للوصول الى إمكانياته . و اليوم يوجد مئات من التطبيقات الأخرى التي تكتشف، من المساعده في بناء الروبوت ذاتي التجميع لتقديم دلائل مثل كيف يطوى البروتين الى شكل ثلاثي دقيق في الجسم الإنساني. أخذت حوالي مئات السنوات و إنشاء الحاسب لإدراك كم هو ممكن فقط ، و إبداعات لانغ هي شاهد على مدى ماوصلنا إليه.

فرس النبي مصنوع من ورقه مربعه غير مقطوعه . الحجم: 4 إنش. صور: روبرت لانغ.

التطبيقات التي لاتصدق للأورجامي قد وضعت حداً في الحقيقه و بشكل جيد على أوهام العظمه ، و الإعتقاد بأنني إنتصرت على عالم الأورجامي في سن التسع سنوات مع الطائر الورقي. لكن بالنسبه للمبتدئين في الأورجامي ، فإن متعه إكتشاف أنه يمكن عمل نموذج بسيط أنيق من ورقه واحده من الورق و عدد صغير من الطيات يمكن أن يجعل أي شخص يعتقد بأنه ماستر في الأورجامي. من الآن، أنا أحثكم على تجربه ذلك – و أنا أضمن لك بأنه سيأسرك.

مصدر المقاله: مجله بلس للرياضيات

http://plus.maths.org/content/power-origami

مصدر الصور

http://www.langorigami.com/